Distance à un sous espace

[ilikoko123]

bonjour , on me demande dans un exercice de montrer que l'application distance à A est de classe C1sur , A étant un sev strict de
j'ai écris
ensuite en exploitant la différentiabilité de la distance à un vecteur a sur

donc
le dernier passage est-il correct ? si oui l'application différentielle est linéaire mais sa continuité ne m'est pas très aisée à montrer
merci pour votre aide

[Ben314]

Salut,
A mon avis, c'est un peu n'importe quoi ton truc : déjà, en général, l'inf d'une somme, c'est pas la somme des inf. et en plus, ton o(h), il dépend très clairement de a donc il risque de jouer un rôle dans l'inf. en question.

Perso, je partirais plutôt de où est a projection orthogonale sur A qui est une ...

P.S. Je suppose que tu es en dimension finie ?

[ilikoko123]

Bien sur c'est un sous espace de R^n ,
dans ce que vous dites on compose la norme avec qui est linéaire de classe et g(R^n\A) est inclus dans R^n\A donc ..
j'ai eu la tendance d'écrire ce qui précède car on me demande de montrer que le gradient est unitaire , peut on déduire le gradient à partir de cela ( composition )?

[arnaud32]

Bien sur c'est un sous espace de R^n ,
dans ce que vous dites on compose la norme avec qui est linéaire de classe et g(R^n\A) est inclus dans R^n\A donc ..
j'ai eu la tendance d'écrire ce qui précède car on me demande de montrer que le gradient est unitaire , peut on déduire le gradient à partir de cela ( composition )?

c'est un peu plus complique que ce je pense.
il y a d'ailleurs une raison pour que l'on se restreigne a R^n -A

[ilikoko123]

car la norme n'est pas différentiable en 0
il me fallait écrire g(R^n\A) est inclus dans R^n\{0}

[Ben314]

Oui, c'est bien comme ça que j'aurais procédé.
Après, la différentielle de s'obtient facilement en disant que (en x non nul évidement) et tu obtient la différentielle (et donc le gradient) de ta fonction par composition.

P.S. Et effectivement, j'avais pas fait gaffe au pour la dimension finie... :dodo:

[ilikoko123]

je vous montre jusqu'à où j'arrive !
si on note g l'application linéaire qui associe à et f =Nog
alors
sachant que
et
il vient (mais j'ai besoin d'un produit scalaire avec h pour récupérer le gradient
je peux m'es sortir de cette manière ? où faut il que je cherche autrement le gradient?

[ilikoko123]

je me rend compte que le dernier produit scalaire est nul si x n'est pas dans A , on retrouve le gradient finalement qui est effectivement unitaire

[Ben314]

Oui, ça marche bien comme ça.
Sinon, partant de la "théorie théorique" te dit que où est l'application linéaire "adjointe" de celle de g.
Et tu sait ce que c'est l'application adjpointe de ?

[ilikoko123]

(Id-P_A)*=Id -P_A*
une projection orthogonale est auto adjointe et gog=g ...

[Ben314]

oui. :king2: