Distance et projecteur orthogonaux

[mehdi-128]

Bonjour,

E est un R espace vectoriel de dimension finie supérieure ou égal à 1. E est muni du produit scalaire <.> ce qui lui confère une structure d'espace euclidien.

Soit n un vecteur non nul de E et H l'hyperplan de E orthogonal à n :
Exprimer pour la distance en fonction de et

Comme H est un sous espace vectoriel de E alors : et là je bloque.

Merci.

[FLBP]

Normalement ça devrait donner :

[mehdi-128]

Je vois pas comment obtenir ça.

[Pseuda]

Bonjour,

Le théorème de Pythagore avec un point quelconque de H ? La projection orthogonale réalise la distance minimum à l'hyperplan.

[mehdi-128]

En utilisant :



Donc :

Juste une question pourquoi on a : ?

[FLBP]

c'est , simplement la valeur absolue du produit scalaire, pour obtenir une distance toujours positive.

[mehdi-128]

Oui je vois mais comment on montre que :

Car le produit scalaire est un réel ?

Car je suis parti de la formule de la distance avec la norme.

[Pseuda]

Pour moi, ne veut rien dire, puisque c'est un réel. Dans une étape du calcul, c'est .

[arnaud32]

donc y est dans H
pour tout z de H,

or y-z est dans H (car c'est un ev)
donc

[mehdi-128]

Pour moi, ne veut rien dire, puisque c'est un réel. Dans une étape du calcul, c'est .

Bah :

Par linéarité du produit scalaire ;