Discriminant polynôme degré 3

[lapras]

Bonjour,
soit un polynôme de degré 3 en n (n entier).
Le discriminant de P est :
Question : Est ce que, comme pour un polynome quadratique, il faut que soit un carré parfait pour que n (n relatif) soit une racine de P ?
Merci d'avance !

[XENSECP]

Non c'est un peu plus compliqué... c'est la méthode de Cardan (cf google)

[lapras]

Oui je connais.
Mais la méthode de cardan ne donne qu'une racine et non pas toutes les racines. Je veux juste qu'il existe n tel que P(n) = 0.

[XENSECP]

lol ouais ba si tu as une racine t'en a 3 ;)
Car après t'as juste à factoriser et tu as un polynome du degré 2 à résoudre ensuite et ca, ca va ;)

[lapras]

Oui bien sur, mais ce que je veux dire c'est que :
Ok doit etre un carré parfait dans les formules de cardan, en factorisant on obtient toutes les racines. Mais qui me dit que dans les deux autres racines il va y avoir un terme en ?

[XENSECP]

ah mais j'en sais rien ! je connais pas la méthode de cardan par coeur perso ^^
je sais que ca aide à trouver les racines d'un polynome d'ordre 3 de cette forme là
Après quoi si tu as une solutions tu as les autres points :)
tu as un exemple peut être ?

[lapras]

En fait ma question ne portait pas sur comment obtenir les racines de P, c'est facile avec cardan. Ma question était pour les équations diophantiennes cubiques : il peut être interessant de calculer le discriminant et regarder si c'est un carré.

[leon1789]

Bonjour,
soit un polynôme de degré 3 en n (n entier).
Le discriminant de P est :
Question : Est ce que, comme pour un polynome quadratique, il faut que soit un carré parfait pour que n (n relatif) soit une racine de P ?
Merci d'avance !

En fait, pour tout polynôme P en tout degré n, sur un corps de caractéristique distincte de 2 (comme Q par exemple), le discriminant de P est un carré si et seulement si le groupe de Galois de P est inclus dans le groupe alterné A_n. Et cette dernière propriété n'a rien à voir avec l'existence d'une racine dans le corps de base.

Tout ça pour dire que pour , un discriminant carré n'impose pas de racine à P. Veux-tu des exemples ?

(Pour n=2, on est dans un cas particulier où A_2 = {Id} et cela provoque deux racines à P comme tu le sais.)

D'ailleurs, la réciproque est fausse aussi : un polynôme ayant une racine n'a pas forcément un discriminant carré. (sauf en degré n=2, comme tu le sais.)

[leon1789]

il peut être interessant de calculer le discriminant et regarder si c'est un carré.

ma réponse est-elle si incompréhensible que ça ??!! :hein:

[lapras]

salut,
en fait je m'interessais à la réciproque : si racine, alors carré.
Je ne sais pas ce que tu veux dire par groupe de galois ou groupe alterné...
Je n'ai surement pas assez de théorie derrière !
Es tu sur que pour un degré 3 la réciproque est fausse ?

[leon1789]

Je ne sais pas ce que tu veux dire par groupe de galois ou groupe alterné...

pas grave, aucune importance.

salut,
en fait je m'intéressais à la réciproque : si racine, alors carré.
Es tu sur que pour un degré 3 la réciproque est fausse ?

Prends un exemple le plus simple possible : le discriminant de x(x^2+1) est -4

[leon1789]

Voici une famille de polynômes irréductibles en X (critère d'Eisenstein, sauf cas particuliers...) dont le discriminant est carré dans Z :

où r est un entier quelconque (sauf quelques valeurs exceptionnelles),
dont le discriminant est le carré de .