Différentielle totale exacte

[AFIF]

BON WEEK END A TOUTES ET A TOUS.
Dans l’exercice suivant on demande de vérifier que l’expression :
df = y²dx + (x²-2xy)dy n’est pas une différentielle totale exacte ;Je pense l’avoir trouvé convenablement ainsi :
;)/;)y ( ;)f/;)x)=2y et
;)/;)x ( ;)f/;)y)=2x-2y
donc : ;)/;)x ( ;)f/;)y););)/;)y ( ;)f/;)x)
c .à.d : df n’est pas une différentielle totale exacte (n’est ce pas) .
2) on demande de montrer qu’on peut obtenir une différentielle totale exacte dg en multipliant cette relation par une fonction dépendant seulement de la variable x.
je trouve une difficulté à la montrer.veuillez m’aider SVP.

[Finrod]

En gros t'arrives pas à simplifier ton calcul.

tu fait g(x) fois ta différentielle, tu compares les deux dérivées au second degrés et tu obtient une équation différentielle ou il y a toujours des y.

je crois que ça doit ressembler à du g(x) (ax+by)-g'(x) (cx+dy)= 0

Comment faire disparaître les y ? je te donne un indice : La dérivée de zéro, par exempe par rapport à y reste 0 ...

c'est une piste il y en a peut être d'autres.

[AFIF]

Bonjour FINROD
suite à votre réponse j’ai essayé ceci :
soit h(x) la fonction à trouver
dg = df.h(x) et df=y²dx+(x²-2xy)dy
=y²h(x) dx +(x²-2xy)h(x)dy
ainsi ;)/;)y (;)g/;)x)=2yh(x) et
;)/;)x (;)g/;)y)=(2x-2y)h(x)+(x^2-2xy) h^' (x)
dg est différentielle totale exacte si :
2yh(x) =(2x-2y)h(x)+(x^2-2xy) h^' (x)
càd : (2x-4y)h(x) + ( x²-2xy)h’(x)=0
dérivons par rapport à y comme vous l’avez proposé je trouve :
-4h(x) -2xh’(x)=0
càd : xh’ +2h=0
et puis...
ai-je commis une faute ?

[Finrod]

Non c'est ça. Maintenant il faut résoudre l'équadiff et ne pas oublier de vérifier que la solution obtenue est bien solution du problème car on a pas raisonné par équivalences.

[AFIF]

mais x est variable je n'arrive pas à résoudre l'equa diff :xh'+2h=0