Equation differentielle totale exacte

[Napoca]

Bonjour à tous,

Voici mon énoncé :

" Solve the differential equation with exact total differential
8tx - 5x² + 2t (2t - 5x) x' = 0 "

Je suppose qu'il s'agit d'équation differentielle totale exacte, ou du moins qu'il faut résoudre le problème avec une équation differentielle totale mais je n'ai jamais appris à résoudre ce genre de problème.. Et même avec les forums je ne m'en sors pas. Je ne vois pas ce que l'on me demande.

Un peu d'aide ?

[Napoca]

Si j'ai bien compris je dois essayer de mettre ça sous forme de P(x,t)dx + Q(x,t)dy... Mais comment faire, car j'ai x', mais pas t'...

[Ben314]

Salut,
Vu que (à mon avis) la fonction x recherchée est une fonction de t,(donc les dérivées se font par rapport à t) si tu regarde aussi t comme une fonction de t alors t'=1.
Bilan : des t', tu en rajoute... ou tu veut...

[Napoca]

Oui on recherche x = x(t)

Donc je peux écrire mon équation de cette manière : x (8t - 5x) t' + 2t (2t - 5x ) x' = 0 ? Et ensuite essayer de résoudre ?

[Ben314]

Donc je peux écrire mon équation de cette manière : x (8t - 5x) t' + 2t (2t - 5x ) x' = 0 ? Et ensuite essayer de résoudre ?

Oui, si tu pense que ça t'arrange, tu peut.

[Napoca]

J'ai essayé et voilà ce que ça donne :

F = P(x,t)dt + Q(x,t)dx = 0

On a dF/dt = 8tx-5x² donc F = 4xt²-5x²t + C, et là on peut poser C=h(t)

De même, dF/dx = 2t(2t-5x) donc F = 4t²x-5tx² + K, et là K=g(x)

Comme l'équation est totale differentielle on a dF/dt = dF/dx

Et là problème, car en résolvant 4xt²-5x²t+h(t)=4t²x-5tx²+g(x) j'obtiens h(t) = g(x)

Bloquée à nouveau....

[zygomatique]

salut

ne vois-tu pas que F - C = F - K <==> C = K

[Napoca]

salut

ne vois-tu pas que F - C = F - K C = K

" j'obtiens h(t) = g(x) "

Si justement, mais avec ça je ne vois pas quoi faire

[Ben314]

" j'obtiens h(t) = g(x) " Si justement, mais avec ça je ne vois pas quoi faire

Ben le "h(t)" te dit que le truc ne dépend pas de x et le "g(x)" te dit que le truc ne dépend pas de t donc il ne dépend de rien du tout : c'est une constante.

Mais, après, je comprend pas trop pourquoi tu t'emmerde avec ton h et ton g et en plus ce que tu écrit est clairement faux :

On a dF/dt = 8tx-5x² donc F = 4xt²-5x²t + C, et là on peut poser C=h(t)

Là, pour passer de DF/dt=... à F=... tu as intégré par rapport à la variable t donc ta "constante d'intégration" C c'est un truc qui est constant par rapport à la variable t donc c'est une fonction qui ne dépend que de x (et pas de t)

Après, perso, je me serait pas fait c... et j'aurais écrit directement
dF/dt = 8tx-5x² donc F = 4xt²-5x²t + C(x) où C est une fonction de x (donc une constante par rapport à la variable t)
Et ensuite, plutôt que d'introduire une deuxième fonction qu'on ne connait pas, j'aurais bêtement écrit que
F = 4xt² - 5x²t + C(x) => dF/dx = 4t^2 - 10xt + C'(x) et donc, pour avoir dF/dx= 4t^2 - 10tx comme souhaité, il faut que C'(x)=0, c'est à dire que C(x) soit constant. On peut donc par exemple prendre C(x)=0.

[Napoca]

Je comprend ce que tu as fait, enfait mon problème vient du fait que je ne sais pas où aller, je vois pas ou on veut en venir et ce que je dois chercher....

Si j'obtiens c(x)=0, à quoi celà peut il me servir ?

Je cherche à trouver la fonction x(t) non ?

[Ben314]

Si j'obtiens c(x)=0, à quoi celà peut il me servir ?

Ben ça te sert à dire qu'il existe bien une fonction F vérifiant à la fois dF/dx=4t²-10xt et dF/dy=8tx - 5 (ce qui n'est pas toujours vrai) et que cette fonction F est F=4xt²-5x²t (plus une constante si on veut).
Ensuite, ça te permet de réécrire ton équation sous la forme t'.dF/dt+x'.dF/dx=0 qui est facile à résoudre (c'est pour ça que tu cherchais ta fameuse fonction F).

[Napoca]

Je suis perdue, je vois toujours pas à quoi on veut en venir.

t'.dF/dt+x'.dF/dx=0, c'est ce qu'on avait depuis le début non ?
Au final on a prouvé que F existait, mais je vois pas a quoi ça a servi.

J'ai beau essayer de retourner le problème dans tous les sens, t'.dF/dt+x'.dF/dx=0 je vois pas quoi faire avec ça

[Napoca]

Tu peux m'expliquer ce qu'on cherche dès le début, ce qu'il faut utiliser etc, car j'avance les yeux fermés là...
La procédure pour résoudre ce genre de problème

[Ben314]

Reprenons depuis le début :

L'équation, c'est ça : 8tx - 5x² + 2t (2t - 5x) x' = 0
Et vu l'indication, on aimerais montrer qu'on peut écrire cette équation sous la forme t'.dF/dt+x'.dF/dx=0 qu'on sait être facile à résoudre.

La phrase ci dessus explique précisément le travail à faire :
1) Montrer qu'une telle application F existe et, si possible, la déterminer (pour pouvoir l'utiliser dans les calculs)
2) Faire la "partie connue comme facile".

On commence logiquement par le 1), vu que ça serait nettement mieux de connaitre la fameuse fonction F pour la partie 2) et, après calculs, on conclue que

...il existe bien une fonction F vérifiant à la fois dF/dx=4t²-10xt et dF/dy=8tx - 5 et que cette fonction F est F=4xt²-5x²t (plus une constante si on veut).

Reste la partie 2) qui est quasi du cours :
On sait que t'.dF/dt+x'.dF/dx = (F(x,t))' donc l'équation t'.dF/dt+x'.dF/dx=0 équivaut à F(x,t)=cst qui permet (a la rigueur, ce n'est pas toujours super utile ni super malin) d'exprimer x en fonction de t et... d'une constante arbitraire, ce qui est normal, il y a quasi systématiquement des "constantes arbitraires" dans les solutions d'une équa.diff. qui, dans beaucoup de problème concret, sont déterminés par "les conditions initiales" du problème.