Dérivée partielles : expression de la différentielle totale

[nicobaki]

Bonsoir,


Je suis allé sur wikipedia pour comprendre : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e_partielle

Mais j'ai un problème avec l'expression de la différentielle totale. Je ne comprends pas pourquoi on multiplie la dérivée partielle de x1 par l'accroissement infinitésimal de x1 : dx1 et pareil pour les autres variables.

Car en toute logique, en sommant chaque dérivée partielle on obtient la différentielle entière pourquoi on multiplie ?

Merci d'avance.

[L.A.]

Bonsoir.

Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris la question, mais je reviens sur le terme infinitésimal.

Ici en maths, le dx1 ne représente pas un accroisement infinitésimal, mais une forme linéaire. si la base de l'espace de départ IR^n est (e1,...,en), la forme linéaire dxi est la fonction qui au vecteur a=(a1,...,an) = a1e1+...+anen associe sa iemè coordonnée ai.

La famille (dx1,...,dxn) forme une base de l'espace dual (IR^n)*, c'est la base duale de (e1,...,en).

en un point a, la différentielle de f dfa est une forme linéaire, qui s'exprime donc dans cette base : dfa = (drondf/drondx1)(a) dx1 + ... + (drondf/drondxn)(a) dxn

[nicobaki]

Oula j'ai une impression de déjà vu... Je me suis vu en train de voir cette page et de comprendre mais pour l'instant j'ai toujours pas compris.

Je me suis acheté le livre : les maths tout en un pour la licence pour essayer de bosser les maths en autodidacte de mon côté mais j'avoue que je ne comprends pas du tout ton explication pour l'instant.

dx1 est d'après leibniz une petite différence sur x1 et dans mon bouquin j'ai l'explication sur la forme linéaire dont tu m'as parlé : Une forme linéaire sur le K-espace vectoriel V est une application linéaire de V dans K. Un hyperplan de V est le noyaux d'une forme linéaire non nulle sur V.

Pour l'instant c'est du chinois pour moi. Alors que l'explication avec le volume est assez facile à comprendre.

et Une application linéaire de V dans v' est une application f : V -> V' qui est un morphisme de groupes et telle que :

quelque soit landa appartenant à K , f(landax) = landa f(x)

[L.A.]

Si tu as du mal à comprendre l'algèbre linéaire, alors la différentielle doit être plus compliquée encore, mais ce côté est indispensable en maths, tandis qu'en physique, :doh: ahem,ahem... j'essaye d'expliquer rapidement le côté maths

donc une forme linéaire, c'est une application g de l'espace vectoriel IR^n dans son corps de base IR, qui vérifie :

g(0) = 0 et pour tout k x y g(kx + y) = kg(x) + g(y)

Soit f de IR^n dans IR et a = (a1,...,an) dans IR^n, on dit que f est différentiable en a si

il existe une forme linéaire g de IR^n telle que pour tout h dans IR^n

f(a+h) = f(a) + g(h) + o(||h||) quand ||h|| tend vers 0.

si tel est le cas, g est appelée différentielle de f en a et notée dfa.

la formule de la différentielle totale s'en déduit

[JJa]

Première question :
<< Je ne comprends pas pourquoi on multiplie la dérivée partielle de x1 par l'accroissement infinitésimal de x1 : dx1 et pareil pour les autres variables. >>
Réponse :
Peut-être que si on parlait une langue "enfantine" avant le parler "savant", on se comprendrait un peu mieux !
Considérons une fonction f(x1, x2, ..., xn)
On cherche a calculer la variation totale (df) de cette fonction lorsque chaque variable varie infinitésimalement respectivement de dx1, dx2, ..., dxn.
- Lorsque x1 varie de dx1 (avec x2, x3, ..., xn constants) , f varie de (Df/Dx1)*dx1
( d-ronde étant écrit D )
- Lorsque x2 varie de dx2 (avec x1, x3, ..., xn constants) , f varie de (Df/Dx2)*dx2
Etc...
- Lorsque xn varie de dxn (avec x1, ..., x(n-1) constants) , f varie de (Df/Dxn)*dxn
Lorsque toutes les variables varient simultanément respectivement de dx1, dx2, ..., dxn on démontre que la variation totale (df) est la somme des variations partielles précédentes :
df = (Df/Dx1)*dx1 + (Df/Dx2)*dx2 + ... + (Df/Dxn)*dxn
Seconde question :
<< Car en toute logique, en sommant chaque dérivée partielle on obtient la différentielle entière pourquoi on multiplie ? >>
Réponse :
- il y a une confusion entre "dérivée" et "différentielle"
On ne peut pas dire qu'une diférentielle (Df/Dx1)*dx1 qui est un infinitésimal donc voisin de zéro, soit de même nature qu'une dérivée (Df/Dx1) qui est une fonction dont les valeurs ne sont pas infinitésimales en général.
Si on ajoute les dérivées partielles :
(Df/Dx1) + (Df/Dx2) + ... + (Df/Dxn)
qui est donc une fonction, on n'obtient pas une différentielle, qu'elle soit totale ou non.
Et il est évident que si on la multiplie par la somme des variations infinitésimales (dx1+dx2+...+dxn) le résultat est faux :
((Df/Dx1) + (Df/Dx2) + ... + (Df/Dxn))*(dx1+dx2+...+dxn)
En effet, il correspondrait au cas où toutes les variables variraient chacune de la même valeur (dx1+dx2+...+dxn), au lieu de varier respectivement de dx1, dx2, ..., dxn.
On notera que "différentielle totale" a une signification, ainsi qu'on l'a vu :
df = (Df/Dx1)*dx1 + (Df/Dx2)*dx2 + ... + (Df/Dxn)*dxn
et joue un rôle très général en analyse.
Alors que si on désignait la somme suivante :
((Df/Dx1) + (Df/Dx2) + ... + (Df/Dxn))
sous le nom inventé de "dérivée totale" ou "dérivée entière", cela ne présenterait aucun intérêt puisque cette somme de fonctions ne joue aucun rôle en général.
A la rigueur, on pourrait parler de "dérivée totale" ou "dérivée entière" seulement dans le cas où la fonction f ne dépend que d'une seule variable x. Ce serait alors la même chose que la dérivée (tout court) df/dx , ou que la dérivée partielle Df/Dx. Donc inutile de se compliquer la vie avec des vocables multiples désignant le même objet : restons en au sens traditionnel et à un seul mot : "dérivée". Ne parlons pas de "dérivée totale" ce qui entrainerait une confusion regrétable avec "différentielle totale".

[L.A.]

Peut-être que si on parlait une langue "enfantine" avant le parler "savant", on se comprendrait un peu mieux !

C'est sans rancune que je m'incline devant ce merveilleux raisonnement "de physiciens" qu'on attendait sans doute ici (Après tout, ils ont l'expérience pour eux :zen: )

[JJa]

Bonjour L.A.,

<< C'est sans rancune que je m'incline devant ce merveilleux raisonnement "de physiciens" qu'on attendait sans doute ici >>
Et moi, je m'attendais à des réactions ironiques... J'apprécie la façon amusante et très modérée dont celle-ci est exprimée : Ce pourrait être bien pire !
J'en profite pour m'excuser platement auprès de Messieurs les Physiciens, pour le rapprochement entre leur language et le malheureux terme "enfantin" que j'ai employé. Qu'ils n'y voient aucune malveillance ni condescendance de ma part. Bien au contraire, je pense que la sempiternelle et artificielle opposition que l'on suppose entre mathématiciens et physiciens est complètement obsolète et ridicule de nos jours. C.F.:
"Une querelle des Anciens et des Modernes", Magazine QUADRATURE, N°61, pp.7-13, juillet 2006.

[nicobaki]

JJa, merci beaucoup pour cette explication (je ne m'attendais pas du tout à une réponse aussi clair et si bien expliquée) qui m'a vraiment aidé et qui je l'espère aidera aussi les autres - la réponse imprimée est à l'intérieur de mon bouquin bien au chaud. L.A. merci aussi pour tes réponses (bien que je ne l'ai ait pas encore comprises pour le moment).


En effet, je pensais que dérivée et différentielle voulaient dire la même chose car j'ai lu dans le livre d'analyse de 1ère S (terracher p91 pour ceux qui l'ont chez eux ou que ça intéresse) je cite :


"Par la connaissance de ce calcul que j'appelle différentiel, on peut obtenir les maxima et les minima comme les tangentes." C'est par ces quelques mots que Leibniz résumait en 1684 le propos de son ouvrage, "Nouvelle méthode pour la détermination des maxima et des minima", véritable acte de naissance de ce que nous appelons encore aujourd'hui le "calcul différentiel", ou calcul des dérivées...


Encore merci.

[JJa]

Je ne pense pas qu'il y ait de contradiction avec ce qui est très justement écrit dans le "Terracher" et dans les livres d'analyse en général.
Le terme de "calcul différentiel" est très large et comprend, entre autres et principalement : les calculs de dérivées, de dérivées partielles, de différentielles partielles et/ou totales, etc...