Diagonalisation et espace propre

[grego75]

Bonjour ! J'ai un exercice, je vous donne l'énoncé et ce que j'ai fait ( je bloque à la fin )

A = 0 16 -3 5 et B= 1 0 1 -1
.......1 -1 1 1 ...........1 1 1 0
.....2 -10 5 1...........3 2 2 1
....-2 6 -2 0...........-1 -2 -2 0

1) Calculer AB
2) En déduire que A est diagonalisable et déterminer ses espaces propres.

1) J'ai trouvé AB = 2 0 0 -3
.........................2 -1 0 0
........................6 -2 0 3
........................-2 2 0 0
2) Du coup, on appelant C1, ...C4 les colonnes de la matrice B, on remarque que AC1=2C1, AC2=-C2, AC3=0 et AC4=3C4, ce qui forme une base de vecteurs propres, d'où A est diagonalisable.

Cependant, je ne me rappelle plus comment trouver les espaces propres. L'espace propre associé à la valeur propre 2 par exemple est l'espace engendré par C1, mais que dois-je écrire quand on me demande de le déterminer ??

Si vous pouviez m'aider, merci !!

[Monsieur23]

Aloha ;

Tu dois résoudre le système AX = 2X

[grego75]

désolé pour l'écriture des matrices, j'ai pas réussi à mieux faire ;)

[grego75]

Comment ça résoudre AX=2X ? Ca va me donner un espace propre ? Je ne comprends pas... :hein:

[Monsieur23]

Tous tes sous espaces propres sont de dimension 1.

Donc il te suffit d'avoir un vecteur propre associé à la valeur propre.
Pour ça, tu résous le système !

[grego75]

Je ne vois vraiment pas. Si je prends X = la colonne (a, b, c, d )
J'ai

16b-3c+5d=2a
a-b+c+d=2b
2a-10b+5c+d=2c
-2a+6b-2c=2d

???

C'est vraiment ça qu'il faut faire, ou je n'ai pas compris ??!

[Monsieur23]

C'est bien ça !

Tu auras E2(A) = Vect ( (a,b,c,d) )

[grego75]

Aaaaah, d'accord. Ben merci alors ;)

[grego75]

Juste une dernière petite question : c'est peut-être stupide, mais je n'arrive pas à trouver l'espace propre pour la valeur 3. Le système me pose problème, quelqu'un peut-il me dire s'il y arrive ? Merci