Diagonalisation, dimension sous-espace [Résolu]

[chelsea-asm]

Bonjour,

J'aimerais avoir quelques précisions si possible, sur une certaine méthode permettant de calculer la dimension d'un sous-espace propre (pour déterminer si une matrice est diagonalisable ou non). Je l'ai trouvée dans le livre de Maths jaune (prépas sciences) et ce n'est pas la même que dans mon cours.

En fait, pour un exemple simple : Je dois dire si la matrice est diagonalisable ou non :

1 , 0 , 0
0 , 0 , -1
0 , 1 , 2

Son polynôme caractéristique est :
Valeur propre :
ordre de multiplicité de 1 :
calcul de la dimension du sous-espace propre associé à 1 :

Je calcule la matrice :

0 , 0 , 0
0 , -1 , -1
0 , 1 , 1

La matrice est de rang 1, et d'après la formule de mon cours
La matrice n'est donc pas diagonalisable. Car .

2. Avec la méthode du livre :

On a déjà la valeur propre , et l'ordre de multiplicité

On dit : l'espace propre associé a pour équation . Il est de dimension 2.

Pourquoi ? Comment trouve-t-on cette équation, et en quoi elle indique qu'il est de dimension 2 ?
Pour ce problème je peux utiliser la méthode précédente, mais celle-ci peut s'avérer utile pour certains exercices et je ne la comprends pas très bien...

Merci pour votre aide !

Cordialement,

Alex

[Joker62]

Bonjour,

Plutôt que de déterminer le rang, il cherche x,y,z non nul tel que

(A-I)*(x,y,z) (en colonne) = 0 (le noyau quoi)

On se rend compte que cela revient résoudre le système

-y-z = 0
y + z = 0

Or ces deux équations sont équivalentes, donc ce système revient à y+z = 0 qui est l'équation d'un plan vectoriel de l'espace donc de dimension 2

(ax + by + cz + d = 0 avec a = 0 et d = 0 (pour qu'il soit vectoriel))

[chelsea-asm]

Merci pour ta réponse Joker62. C'est tout bon alors merci beaucoup :zen:

Bonne journée ;)