Dimension d'un sous espace propre.

[PCTroyes]

Bonsoir,

Soit un entier n>=2, z1 et z2 deux complexes tels que z2 0.
M la matrice : M= Où retrouver l'article avec les formules TEX ?
Donc M= Une matrice carré avec z1 sur la diagonale et tous les autres termes égaux à z2

Montrer que M admet un s-e propre de dimension n-1.

J'ai essayé de calculer le polynôme caractéristique comme une brute ce qui est horrible.
Ce qui est absurde étant donné la dimension n..
J'ai appliqué la formule du polynôme caractéristique pour n=2 : X^2 - 2z1X + z1^2
Et le montrer par récurrence mais je ne m'en sors pas..
Des conseils ?

Merci

[Robot]

est une valeur propre de si et seulement si est de rang . Le sous-espace propre associé à est le noyau de , il est de dimension (théorème du rang).
Chercher un sous-espace propre de dimension revient donc à chercher tel que soit de rang 1.

[PCTroyes]

Merci Robot. J'ai deux questions, je remercie d'avance quiconque me répondra.
1) "Chercher un sous-espace propre de dimension revient donc à chercher tel que soit de rang 1."
Cela n'est-il pas vrai ssi il existe deux valeurs propres ? Si oui, comment le montrer ?

2) Un peu en dehors du problème c'est plus pour ma culture: " est une valeur propre de si et seulement si est de rang . "
Que se passe t'il alors si r=n ?

Merci.

Note, nous avons tendance à travailler avec au lieu de depuis une réforme il me semble, cela change t-il quelque chose ?

[Robot]

1) "Chercher un sous-espace propre de dimension revient donc à chercher tel que soit de rang 1."
Cela n'est-il pas vrai ssi il existe deux valeurs propres ? Si oui, comment le montrer ?

Non, pas "si". Il est nécessaire qu'il y ait deux valeurs propres exactement (tu vois pourquoi ?), mais ce n'est pas suffisant !

2) Un peu en dehors du problème c'est plus pour ma culture: " est une valeur propre de si et seulement si est de rang . "
Que se passe t'il alors si r=n ?

Ben, est inversible et n'est pas valeur propre. What else ?

Note, nous avons tendance à travailler avec au lieu de depuis une réforme il me semble, cela change t-il quelque chose ?

Je suis d'accord pour que le polynôme caractéristique soit . Mais pour parler du rang, ou , c'est kif-kif.

[PCTroyes]

Non, pas "si". Il est nécessaire qu'il y ait deux valeurs propres exactement (tu vois pourquoi ?), mais ce n'est pas suffisant ! .

Il faut bel et bien deux valeurs propres exactement afin de retomber sur des dimensions 1 et n-1. Je vois pourquoi, je ne saurai répondre autrement qu'en disant qu'il faut que la somme des dimensions de ces sous espaces propre = n M est diagonalisable, je m'écarte alors du sujet non ?

Merci pour les deux autres réponses Robot !
Quel lien il y a t'il entre l'inversibilité de la matrice M-Lambda In et le fait que lambda ne soit pas valeur propre ?

[Robot]

Je ne suis pas sûr que tu aies une vision claire de ce que veulent dire "condition nécessaire" et "condition suffisante". En écrivant qu'il y a un sous-espace propre de dimension n-1 si et seulement s'il y a exactement deux valeurs propres, tu affirmes que c'est une condition nécessaire et suffisante. Tu te trompes, c'est juste une condition nécessaire.

"Quel lien il y a t'il entre l'inversibilité de la matrice M-Lambda In et le fait que lambda ne soit pas valeur propre ?"
Le lien est simple : il s'agit de deux propriétés équivalentes.

[zygomatique]

salut

un exemple simple :: soit (e_1,e_2, ..., e_n) une base et f l'endomorphisme défini par ::

f(e_i) = e_i) lorsque i < n et f(e_n) = e_1

f admet un sous-espace propre de dimension n - 1 ... et qu'une seule valeur propre ....

:lol3:

[Robot]

Zygomatique, dans ton exemple il y a deux valeurs propres : 1 et 0.

Mais tu as tout de même raison dans le fait qu'un endomorphisme peut avoir un sous-espace propre de dimension n-1 et une seule valeur propre : modifier ton exemple avec pour .

Je corrige donc mon affirmation en une qui est correcte (et triviale) : un endomorphisme diagonalisable qui a un sous-espace propre de dimension n-1 a nécessairement deux valeurs propres.

[zygomatique]

ha oui .... merci ....

[Pseuda]

Quel lien il y a t'il entre l'inversibilité de la matrice M-Lambda In et le fait que lambda ne soit pas valeur propre ?

La matrice M-;)In est inversible si et seulement si dét(M-;)In);)0 ssi n'est pas solution du polynôme caractéristique de M ssi n'est pas valeur propre de M.

[PCTroyes]

Merci j'arrive mieux à le voir dès à présent.

Pour en revenir à mon exercice.
J'essaye alors de trouver un tel que soit de rang 1.

J'ai naturellement essayé avec pour obtenir une diagonale de 0 ce qui ne sert pas à grand chose car je ne trouve pas de famille liée de taille 1...

[Robot]

Rang 1 veut dire que la matrice n'est pas nulle et que toutes les colonnes (ou toutes les lignes) appartiennent à la même droite vectorielle.
Tu peux choisir facilement pour que toutes les colonnes de soient en fait égales.

[PCTroyes]

Ce que je dois chercher : un Lambda tel que la matrice M-Lambda In possède une ligne (colonne) étant combinaison linéaire de toutes les autres.
Effectivement si elles sont égales c'est réglé.
Mais pour la matrice M possédant z1 sur la diagonale et tous les autres termes égaux à z2, je ne dois pas avoir la même facilité que vous pour trouver un lambda Robot... A mon grand désespoir...

[Robot]

Ce que je dois chercher : un Lambda tel que la matrice M-Lambda In possède une ligne (colonne) étant combinaison linéaire de toutes les autres.

Ce n'est absolument pas ce que j'ai écrit !!!! Là, ce que tu écris, ça veut juste dire que M-Lambda In est de rang plus petit que n.

Effectivement si elles sont égales c'est réglé.
Mais pour la matrice M possédant z1 sur la diagonale et tous les autres termes égaux à z2, je ne dois pas avoir la même facilité que vous pour trouver un lambda Robot... A mon grand désespoir...

M'enfin ??? chaque colonne a toutes ses coordonnées égales à , sauf la coordonnée correspondant à son numéro qui est . Franchement, pas besoin d'être un génie pour trouver tel que toutes les colonnes soient égales (elles devront être égales à quoi ?)

[PCTroyes]

Désolé si je vous ai agacé mais j'ai tout compris maintenant et je vous remercie infiniment grâce à ce dernier message !

Effectivement si une ligne ou colonne est combinaison linéaire des autre cela signifie que le rang est inférieur à n et non pas égal à 1 je le vois bien maintenant et je me rend compte de mon ânerie.


Ensuite il est clair qu'il faut que z1-Lambda = z2 d'où Lambda = z1 - z2.

J'ai honte mais bon j'ai compris c'est l'essentiel !

Encore une fois merci pour tout Robot, votre patience et vos explications aussi claires que possible pour un forum.

Sans doutes à bientôt !

[Robot]

Quand on a compris, on se demande comment on a fait pour ne pas comprendre avant.

Bon courage !

[Pseuda]

Tu peux aussi calculer le polynôme caractéristique de M : (z1-z2-;))^(n-1) * (z1+(n-1)z2--;)) (par combinaison linéaire des lignes), en déduire ses 2 valeurs propres et ses 2 sous-espaces propres.

[Robot]

Oui, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? :lol3: