Déterminer un triangle équilatéral à partir de 3 cercles

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alexv
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Déterminer un triangle équilatéral à partir de 3 cercles

par alexv » 27 Jan 2025, 09:41

Soient C1, C2 et C3 trois cercles de même rayon R.
Déterminer trois points A sur C1, B sur C2 et C sur C3 tels que ABC forme un triangle équilatéral de côté R : condition d'existence, nombre de solutions et détermination des coordonnées des points.



GaBuZoMeu
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Re: Déterminer un triangle équilatéral à partir de 3 cercles

par GaBuZoMeu » 27 Jan 2025, 22:13

Bonsoir,
Qu'as-tu essayé ?

alexv
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Re: Déterminer un triangle équilatéral à partir de 3 cercles

par alexv » 30 Jan 2025, 15:20

Bonjour,

J'ai exploré plusieurs pistes, sans succès :

- Des méthodes purement géométriques.

- Une résolution analytique : on a 6 inconnues (les coordonnées (x,y) des 3 points) et 6 équations quadratiques (les 6 distances à respecter). Je n'ai pas trouvé de moyens pour résoudre ce système.

- Une résolution complexe : les 3 points sur les 3 cercles peuvent être paramétrés par 3 angles. On se retrouve avec 3 équations complexes à résoudre. Là encore sans succès.

J'en suis à faire des résolutions numériques du problème pour mieux le cerner.
J'ai constaté que le nombre maximum de solutions semble être 12.
Je pense que ça peut se démontrer à partir des équations analytiques : les 6 équations quadratiques peuvent conduire à 12 équations linéaires, ce qui doit pouvoir être utilisé pour démontrer le nombre maximum de solutions.
Le nombre de solutions semble être toujours un nombre pair, donc 0, 2, 4, 6, 8, 10 ou 12.

Je n'ai pas encore de visibilité sur le domaine qui permet d'avoir des solutions (mis à part des conditions évidentes sur le fait que les 3 cercles ne doivent pas être trop éloignés les uns des autres).
Je vais peut-être faire des recherches systématiques pour voir si le domaine est une forme régulière ou fractale.

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Re: Déterminer un triangle équilatéral à partir de 3 cercles

par GaBuZoMeu » 03 Fév 2025, 18:11

Bonjour,
Ton problème peut se voir comme un problème classique de robotique,
Soient les centres de . On peut considérer le mécanisme articulé "4-barres" avec une barre fixe et une plateforme mobile qui est le triangle équilatéral de côté , relié à à la barre fixe par les deux barres mobiles et de longueur . On a des articulations rotoides en .
Ce mécanisme articulé a un degré de liberté et quand on considère toutes les poses possibles de ce mécanisme, on voit que le point décrit une courbe, dite courbe de couplage (coupler curve) qui est une sextique tricirculaire, une courbe de degré 6 qui passe 3 fois par chacun des points cycliques. Une telle courbe peut avoir 0, 2, 4 ou 6 points d'intersection réels à distance finie (comptés avec multiplicité) avec un cercle. Les configurations qui t'intéressent sont justement les intersections de cette courbe de couplage avec le cercle de centre de rayon .
Tu dis pouvoir trouver 12 solutions. C'est simplement parce que dans l'analyse ci-dessus on a fixé une orientation du triangle . Si on prend l'autre orientation, on aura une autre courbe de couplage, symétrique de la première par rapport à la droite .
Le calcul des configurations possibles quand les trois cercles sont donnés est un problème ultra-étudié en robotique : c'est le problème de la cinématique directe du robot parallèle plan 3-RPR.
Quelques liens :
https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canisme_%C3%A0_quatre_barres
https://www-sop.inria.fr/hephaistos/logiciels/RP/FK/3-RPR/notice-html.html

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Re: Déterminer un triangle équilatéral à partir de 3 cercles

par GaBuZoMeu » 03 Fév 2025, 21:39


alexv
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Re: Déterminer un triangle équilatéral à partir de 3 cercles

par alexv » 04 Fév 2025, 08:20

Bonjour,

Merci pour les explications et les références.
J'ai regardé un article, ça correspond effectivement à mon problème.

J'avais généré des courbes représentant le lieu du 3ème point quand le 1er point parcourt le premier cercle et le 2ème point est sur le 2ème cercle.
Ici une animation quand on écarte progressivement les 2 premiers cercles : Image.
Ça correspond bien à ce que tu obtiens avec Geogebra.

Une autre animation qui présente le nombre de triangles en fonction de la position relative des 3 cercles :Image.
Le 1er point est en (0, 0), le 2ème en (t,0) avec t le temps et le 3ème en (x,y) avec (x,y) les coordonnées du point dans l'image, de noir (0 triangle) à blanc (12 triangles).

Je vais me pencher sur les polynômes de degré 6. Résoudre deux polynômes de degré 6 sera certainement plus rapide que ma résolution numérique actuelle.

Je rencontre un autre problème proche : un losange dont les 4 points sont sur 4 cercles donnés. Là encore, le nombre de solutions varie généralement entre 0 et 12. J'imagine qu'il s'agit d'un autre problème étudié en robotique.

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Re: Déterminer un triangle équilatéral à partir de 3 cercles

par GaBuZoMeu » 04 Fév 2025, 10:32

D'où viennent tes problèmes ?

alexv
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Re: Déterminer un triangle équilatéral à partir de 3 cercles

par alexv » 04 Fév 2025, 10:59

Je fais des recherches sur les matchstick graphs (https://en.wikipedia.org/wiki/Matchstick_graph).
Le triangle et le losange correspondent à deux graphes particuliers.

GaBuZoMeu
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Re: Déterminer un triangle équilatéral à partir de 3 cercles

par GaBuZoMeu » 07 Fév 2025, 09:52

Bonjour,
Pour jouer avec le losange :
https://www.geogebra.org/m/h45egrqe
La situation initiale montre 12 solutions.

GaBuZoMeu
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Re: Déterminer un triangle équilatéral à partir de 3 cercles

par GaBuZoMeu » 07 Fév 2025, 22:24

Dans le cas du losange, on a une courbe de couplage de degré 12 qui est sexticirculaire. Elle a donc bien au maximum 12 points d'intersection réels à distance finie avec les cercles.

alexv
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Re: Déterminer un triangle équilatéral à partir de 3 cercles

par alexv » 09 Fév 2025, 09:09

Merci. Ça correspond bien à ce que je retrouve dans mes simulations numériques.

 

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