Théorème triangle équilatéral

[Ncdk]

Bonsoir,

J'aurai besoin d'une petite aide car je comprends pas la portée de ce théorème ou bien une équivalence.

Un triangle est équilatéral si et seulement si les affixes a,b et c de ses sommets vérifient : a²+b²+c²=ab+bc+ca.

Je comprends pas ce que ça signifie, je suppose que c'est qu'il n'existe aucun triangle ABC équilatéral dont les coordonnées des sommets A, B, C dans un repère orthonormé direct du plan, sont des entiers. Mais je comprends pas l'équivalence des deux énoncés en fait

Bonne soirée et merci

[Ben314]

Salut,
Perso., ce que je comprend pas, c'est le sens de la question.
Des équivalence, ben tu en manipule au moins depuis le du collège (par exemple le fameux théorème de Pythagore et sa soit-disant "réciproque") et ça serait pas con, arrivé dans la supérieur, d'avoir compris ce que ça signifiait.
Bref, là ce que ça te dit, c'est que si tu prend un triangle ABC quelconque où les point A,B,C ont pour affixe respectives les complexes a,b,c alors il y a deux cas de figure :
- Soit le triangle ABC est équilatéral et le complexe a²+b²+c² est égal au complexe ab+bc+ca.
- Soit il ne l'est pas et le complexe a²+b²+c² est différent du complexe ab+bc+ca.

Sinon, cette caractérisation peut à la rigueur servir si on désire montrer qu'il n'existe pas de (vrai) triangle équilatéraux à coordonnées entière, mais ce n'est pas franchement la façon la plus rapide de montrer un tel résultat (*) et, ce qu'il y a de sûr, c'est que ce n'est pas du tout ça que "dit" cette équivalence.

(*) Le plus rapide, si on veut utiliser les complexes, je pense que c'est d'utiliser la caractérisation suivante des triangles équilatéraux : (qui en plus et bien plus évidente).

[Ncdk]

Je vais peut-être reformuler ce que je voulais dire ça sera plus simple.

Le but de mon post est de trouver une application classique du savoir de terminale S dans le chapitre des complexes. Je me suis tourné vers le théorème suivant : Il n'existe pas de triangle équilatéraux à coordonnées entière dans un plan orthonormé direct.

Du coup je voulais trouver comment le prouver avec les complexes.

Je me suis retrouvé sur plusieurs preuves et un énoncé d'un théorème qui parle de triangle équilatéraux, qui est "Un triangle est équilatéral si et seulement si les affixes a,b et c de ses sommets vérifient : a²+b²+c²=ab+bc+ca".

Ma question est donc : Est-ce qu'en prouvant l'énoncé entre guillemets, cela revient à prouver qu'il n'existe pas de triangle équilatéraux à coordonnées entière dans un plan orthonormé direct ?

[Ben314]

Ma question est donc : Est-ce qu'en prouvant l'énoncé entre guillemets, cela revient à prouver qu'il n'existe pas de triangle équilatéraux à coordonnées entière dans un plan orthonormé direct ?

Ben... non : ça très clairement rien à voir l'un avec l'autre.
Je l'ai déjà dit : l'égalité en question pourrait, à la rigueur, servir pour démontrer qu'il n'existe pas de triangle équilatéraux de sommets à coordonnées entières, mais dans l'autre sens, le fait qu'il n'y ait aucun triangle équilatéraux de sommets à coordonnées entières, ça ne risque évidement pas d'impliquer une telle formule caractéristique.

Je comprend même pas ce qui peut te passer par la tête pour que tu (entre)voie une quelconque équivalence entre cette caractérisation des triangles équilatéraux et la non existence de triangle équilatéraux de sommets à coordonnées entières. Selon toi, c'est quoi le lien entre les deux ?

[Ncdk]

Non ce que je veux dire c'est que s'il y a un lien, il est pas évident pour moi, pour ça je me demandais si ça voulait dire la même chose, du coup je cherchais une explication mais je voyais pas du tout ^^

Du coup je pense à autre chose, en gros prendre a et b entiers et montrer que c ne l'est pas non ?

[Elias]

Je pense que la question est: comment à partir du théorème "Un triangle est équilatéral si et seulement si les affixes a,b et c de ses sommets vérifient : a²+b²+c²=ab+bc+ca", démontrer qu'il n'existe pas de triangle équilatéral à coordonnées entieres.

Il n'était pas question d'équivalence dans la question de Ncdk mais il faut faire attention aux mots Ncdk.
Quand tu demandes: est-ce que l'énoncé A revient à montrer l'énoncé B, tu sous entends: "est ce que l'énoncé A est équivalent à B" d'où la réponse de Ben.
Tu aurais dû éventuellement t'exprimer ainsi: "comment montrer que le théorème cité ci dessus implique la non existence d'un triangle équilatéral à coordonnées entieres".

Maintenant, si tu veux une application avec les complexes, utilise plutôt la caractérisation rappelée par Ben avec exp(i pi/3).

[Ncdk]

D'accord merci de ton explication, c'était pas trop ça que je voulais aussi mais au final en me relisant c'est ce que j'ai laissé paraître

Je pense que je vais me lancer dans la preuve qu'il n'existe pas de triangle équilatéral à coordonnées entières, en utilisant la caractérisation donné par Ben, je sais pas vraiment par où commencer mais au final le pi/3 c'est la rotation d'angle j'ai l'impression. Je vais essayer de trouver merci

EDIT : Une preuve traîne sur ce forum d'ailleurs, un post de 2005. Je reviens vers vous une fois finit pour voir si la rédaction est correcte.

[Ben314]

Du coup je pense à autre chose, en gros prendre a et b entiers et montrer que c ne l'est pas non ?

Heuuu... tu déconne ou quoi ?
Les affixes a,b,c des points A,B,C, c'est des complexes et le fait que A,B,C soient à coordonnées entières, ça veut évidement pas dire que a,b,c sont des entiers, mais que ce sont des "entiers de Gauss", c'est à dire des complexes de la forme x+iy avec x et y des entiers.
Après, bien sûr, on peut faire de l'arithmétique (avec des nombres premiers, des pgcd, etc...) sur les entiers de Gauss comme sur les entiers "normaux", mais vu que ça résulte du fait que Z[i] est Euclidien ce qui est tout sauf trivial (Z[omega] est rarement euclidien), c'est pas du tout du tout niveau Lycée de faire de l'arithmétique là dessus.
Bref, niveau Lycée, si tu part de cette relation pour caractériser les triangles équilatéraux, ben ce qu'il faut montrer, c'est qu'il n'y a pas de solution non triviales (i.e. avec a,b,c distincts) à l'équation a²+b²+c²=ab+bc+ca où a,b,c sont des complexes de la forme x+iy avec x et y entiers.
C'est évidement faisable, mais, tout aussi évidement, c'est bien plus compliqué que montrer directement que n'a pas de solution avec a,b,c de la forme x+iy ; x et y entiers : là, tu obtient en une ligne que, s'il y avait des solutions, ça signifierais que est rationnel ce qui est faux.

[Ncdk]

Oh !
Merci de l'explication, mais j'ai rarement vu parler "d'entiers" dans les complexes, on parle plutôt de forme algébrique c'est pour ça que je comprenais absolument pas le sens du mot entier, je pensais à

Très bien, je vais regarder ça calmement. Merci !

[Ben314]

De toute façon, niveau Lycée, ça me parait évident qu'il vaut bien mieux ne pas appeler ça des "entiers", mais bon, le terme de "entiers de Gauss", c'est le terme historique consacré concernant les x+iy avec x et y dans Z (i.e. si par exemple tu cherche de la doc. les concernant sur le net, c'est pas con de savoir que c'est comme ça que ça s'appelle...)

[nodgim]

Pour prouver qu'on ne peut pas mettre les sommets d'un triangle équilatéral sur des points à coordonnées entières, on n'est pas forcément obligé de passer par les complexes, il me semble.

[Ncdk]

Merci bien.

Une autre question, peut-être un peu plus général, au final, si on se sert du plan complexe pour prouver des théorèmes, des propriétés de géométries, on peut tout-à-fait les prouver dans R^2 étant donné que ces plans sont "semblables" non ?
Après c'est peut-être plus simple de passer dans les complexes que dans R^2, mais j'ai du mal à me dire que si une propriété géométrique est vrai dans le plan complexe, pourquoi elle ne le serait pas dans R^2.

Je me pose cette question au vu de l'oral du CAPES, en effet, si c'est le cas, c'est-à-dire que si je prends une propriété géométrique que l'on peut prouver dans C, pourquoi on pourrait pas le faire dans R^2 ?

Une leçon du CAPES qui porte sur les nombres complexes et des applications, imaginons je prends comme application : il n'existe pas de triangle équilatéral à coordonnées entières. Du coup, je doute un peu sur le fait que : Est-ce une bonne application ?

Merci d'éclairer ma lanterne à ce sujet ^^

[Ben314]

Si on a un peu de recul, les applications des complexes à la géométrie dans R^2, ça consiste principalement à faire du calcul matriciel sans le dire vu que les complexes, ben c'est jamais que les matrices de la forme .
Donc le type qui connaît le calcul matriciel, par exemple le fait qu'une rotation (vectorielle), ça correspond à la matrice , ben il peut parfaitement se passer des complexes et proposer des preuves équivalentes utilisant les application linéaires (et/ou affine) correspondant.
Bref, les complexes, c'est comme tout le reste, c'est UN des outils possibles pour résoudre des problème de géométrie, mais, évidement, ce n'est ni le seul, ni le "meilleur" (vu que tout dépend du contexte de l'exo.), ni un outil "indispensable" : on peut systématiquement faire sans (mais ça risque dans certains cas de pas mal rallonger le laïus...)
Concernant l'application à l'oral du Capes, j'aurais tendance à dire "pourquoi pas" : ce n'est peut-être pas l'application la plus "pertinente" qui soit, mais d'un autre coté, ça sort un peu des sentiers archi. rebattus de ce qu'on entend en général comme oral au Capes et ça peut être apprécié par le Jury.

[Ncdk]

D'accord, je vois mieux au final

Petite erreur dans la matrice correspondant à une rotation vectorielle, le cos et sin sont a échangé (sur la 2ème ligne) il me semble.
Qu'est-ce qu'on peut trouver comme application beaucoup plus pertinente sur les complexes ?

[Elias]

Cette application est selon moi très pertinente.
Attends toi par contre à ce que l'on te demande de démontrer que racine(3) est irrationnel si tu l'as choisie.

Il y a aussi un truc classique avec les complexes (mais c'est court) qui consiste à montrer que si x et y sont des entiers qui peuvent s'écrire comme somme de deux carrés, alors le produit xy peut aussi s'écrire comme somme de deux carrés.

Autrement dit, s'il existe a,b,c,d entiers tels que x = a^2+b^2 et y = c^2+d^2, alors il existe u,v entiers tels que xy = u^2+v^2.


Il suffit simplement de remarquer que sous de telles hypotheses, en posant z=a+ib et z' = c+id, on a :
x = |z|^2 et y = |z'|^2 donc xy = |zz'|^2 et on montre le résultat en prenant u = Re(zz') et v=Im(zz').

[Ben314]

Pour moi, LA application la plus pertinente des complexes à la géométrie, ça concerne l'écriture sous la forme de fonction z->z' des isométries affines (translations/rotation/symétries axiales), voire éventuellement celle des homothéties et donc en fait des similitudes directes et indirectes.
Par exemple, ça permet d'avoir une formule simple et compacte pour déterminer le centre d'une rotation qui est la composée de deux rotations de centre distincts.

Et sinon, LA application la plus pertinente des complexes, ça me semble être pour la factorisation des polynômes (et historiquement parlant, c'est bien là que sont apparus pour la première fois des complexes : en temps que racines "imaginaires" de polynômes n'ayant pas de racine dans R).
Par exemple, pour trouver la factorisation dans R de X^4+1, c'est bien plus simple de commencer par chercher la factorisation dans C (on peut la trouver directement dans R, mais ça demande une astuce alors qu'en passant par C, c'est "zéro astuce")

[chan79]

salut
Si on insiste pour démontrer qu'il n'y pas de triangle équilatéral ABC avec les coordonnées de A, B et C entières en utilisant les complexes:
on a l'égalité a²+b²+c²=ab+ac+bc
en multipliant par 2, on a (a-b)²+(c-b)²+(a-c)²=0
en posant z=a-b et z'=c-b
on arrive à
z²+z'²+(z-z')²=0
soit
z²-zz'+z'²=0
delta=z'²-4z'²=z'²*(i*)²



Mais on aurait pu écrire ça dès le début donc, pas d'intérêt !

Sinon, si on aime le visuel, on inscrit le triangle dans un rectangle (d'aire entière)
Les aires des triangles qui entourent le triangle central sont rationnelles (entier ou entier divisé par 2)
L'aire du triangle équilatéral serait donc rationnelle. Impossible car AB² est entier et l'aire est AB²*racine(3)/4