2)
Une méthode comme une autre ... pas par la méthode attendue.
Si il y a des racines entières c'est, au signe près, des diviseurs de 1 ... on teste P(1) et P(-1) et on trouve que 1 est racine de P(x)
On fait la division euclidienne de P(x) par (x-1) : P(x) = (x-1)*Q(x) et le Q(x) trouver en encore 1 comme racine évidente.
On fait donc la division euclidienne de P(x) par (x²-2x+1) et on arrive à :
P(x) = (x-1)²*(7x^6 + 6x^5 + 5x^4 + 3x² + 2x + 1)
Reste donc à voir le type de racines de G(x) = 7x^6 + 6x^5 + 5x^4 + 4x³ + 3x² + 2x + 1
G'(x) = 42x^5 + 30x^4 + 20x³ + 12x² + 6x + 2
G''(x) = 210x^4 + 120x³ + 60x² + 24x + 6 = 6(35x^4 + 20x³ + 10x² + 4x + 1)
On peut résoudre (par exemple par le méthode de Ferrari) 35x^4 + 20x³ + 10x² + 4x + 1 = 0
On trouve alors qu'il n'y a pas de solution réelle à cette équation et que donc G''(x) > 0 sur R --> G'(x) est strictement croissante.
Comme lim(x-->-oo) G'(x) = -oo et lim(x-->+oo) G'(x) = +oo et que G'(x) est strictement croissant, il y a une et une seule solution réelle à G'(x) = 0
On peut alors approcher avec la précision qu'on veut (sauf valeur exacte) par approximations successives la valeur de x telle que G'(x) = 0
On trouve G'(x) = 0 pour x = -0,508507...
Comme G'(x) est strictement croissante et G'(x) = 0 pour x = -0,508507..., G(x) a son minimum pour x = x = -0,508507...
Ce min vaut G(-0,508507...) = 0,4841...
Donc G(x) > 0 sur R.
Et il n'y a aucune solution réelle à G(x) = 0
P(x) a donc 1 racine double réelle (x = 1), les autres racines (au nombre de 8-2) = 6 sont donc complexes.
