Racines Polynome de degré 4

[cy06]

Bonjour,
Soit un polynôme de degré 4 et donc du type suivant :
a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e.
Je souhaiterai savoir s'il existe une règle spécifiant le nombre minimal de racines complexes associé à un polynôme de degré 4. En résumé, est il possible que les 4 racines d'un polynôme de degré 4 soient toutes réelles ? Si oui, a quelles conditions ?
Merci

[WillyCagnes]

bsr

un polynome de degré 4 peut avoir 4 racines réelles et zero complexe
(x-r1)(x-r2)(x-r3)(x-r4) que tu peux developper et l'identifier à
x^4 +bx^3 +cx² +dx +e

ou
ax(bx^3+cx²+dx+e)

2 racines reelles et 2 complexes
(x-r1)(x-r2)(ax²+bx +c) avec delta b² -4ac <0


puis 4 racines complexes
(ax² +bx+c)(dx² +ex +f) avec les 2 delta <0

[Ben314]

Salut,
A mon avis, une des méthodes les plus simples et les plus connues pour déterminer le nombre de racines réelle d'un polynôme (à coeffe réels bien sûr !) c'est le Théorème de Sturm.

[cy06]

Ok,merci.
Après recherches, le polynôme de degré 4 admet une racine réelle double (x=1).
D'où :
a*x^4+b*x^3+c*x+d=(x-1)^2*(e*x^2+j*x+k).
On a une racine réelle double => d'où \Delta=0 (i.e le discriminant du polynôme de degré
4=0), n'est ce pas ?
Concernant le polynôme de degré 2 : e*x^2+j*x+k, ne connaissant pas le signe de j et l (mais sachant que e>0), peut-on tout de même arriver à déterminer si les deux racines sont réelles sachant le discriminant du polynôme de degré 4 nul (cf supra) ? Ou doit on forcément poser des hypothèses (e.g. le discriminant associé au polynôme de degré 2 est positif) ?
Le but ultime est d'établir un tableau de variation du polynôme de degré 4 sur l'intervalle [1, +\infty]

Merci d'avance pour vos commentaires

[Ben314]

Ok,merci.
Après recherches, le polynôme de degré 4 admet une racine réelle double (x=1).
D'où :
a*x^4+b*x^3+c*x+d=(x-1)^2*(e*x^2+j*x+k).
On a une racine réelle double => d'où \Delta=0 (i.e le discriminant du polynôme de degré
4=0), n'est ce pas ?
Concernant le polynôme de degré 2 : e*x^2+j*x+k, ne connaissant pas le signe de j et l (mais sachant que e>0), peut-on tout de même arriver à déterminer si les deux racines sont réelles sachant le discriminant du polynôme de degré 4 nul (cf supra) ? Ou doit on forcément poser des hypothèses (e.g. le discriminant associé au polynôme de degré 2 est positif) ?
Le but ultime est d'établir un tableau de variation du polynôme de degré 4 sur l'intervalle [1, +\infty]

Merci d'avance pour vos commentaires

Je sais pas trop quoi te répondre vu que je ne sais pas à quel niveau tu est.
Je m'explique : as tu vu la notion de déterminant pour des polynômes de degrés autre que 2 (qui est est le résultant du polynôme et de sa dérivée) ?
Si oui, c'est O.K., si non, c'est évidement pas O.K. du tout !!!

Aprés, je sais pas trop non plus ce que tu cherche à faire : tu as un polynôme dont tu connais les coeffs ou bien tu cherche "en général" ?

De toute façon, une fois qu'on sait (par une méthode ou un autre) qu'un polynôme admet un certain facteur, par exemple (x-1)^2, une méthode simple pour trouver le quotient est de faire la division euclidienne du polynôme (ou de revenir au niveau Lycée en développant le produit où on a mis des inconnues pour les coeffs qu'on cherche puis en utilisant le fait que deux polynômes sont égaux ssi ils ont les même coefficients. Quand on connait les racines (et leur multiplicité) du diviseur, donc ici de (X-1)² ont peut aussi dériver la relation P=(X-1)^2Q un certain nombre de fois et regarder ce que ça donne pour X=1 : c'est plus rapide...

Enfin, un dernier truc : si ton but est d'étudier les variations de P, ça ne te sert à rien de le factoriser (on ne te demande pas le signe de P !) mais c'est P' que tu doit factoriser pour avoir le signe de P'.
Là où tu as de la chance, c'est que, si effectivement X=1 est racine double de P, c'est une racine de P' et comme P' est de degré 3, une fois (X-1) mis en facteur, il ne te restera qu'un polynôme de degré 2 dont le signe est façile à trouver (Delta=...)

[cy06]

Je sais pas trop quoi te répondre vu que je ne sais pas à quel niveau tu est.
Je m'explique : as tu vu la notion de déterminant pour des polynômes de degrés autre que 2 (qui est est le résultant du polynôme et de sa dérivée) ?
Si oui, c'est O.K., si non, c'est évidement pas O.K. du tout !!!

Aprés, je sais pas trop non plus ce que tu cherche à faire : tu as un polynôme dont tu connais les coeffs ou bien tu cherche "en général" ?

De toute façon, une fois qu'on sait (par une méthode ou un autre) qu'un polynôme admet un certain facteur, par exemple (x-1)^2, une méthode simple pour trouver le quotient est de faire la division euclidienne du polynôme (ou de revenir au niveau Lycée en développant le produit où on a mis des inconnues pour les coeffs qu'on cherche puis en utilisant le fait que deux polynômes sont égaux ssi ils ont les même coefficients. Quand on connait les racines (et leur multiplicité) du diviseur, donc ici de (X-1)² ont peut aussi dériver la relation P=(X-1)^2Q un certain nombre de fois et regarder ce que ça donne pour X=1 : c'est plus rapide...

Pour les polynômes de degré supérieur à deux, c'est ok. Je cherche à trouver un résultat "en général" (calcul formel). J'utilise les lettres a, b, c ... pour simplifier l'exposé du problème (l'expression réelle étant bien plus compliquée => en m'aidant d'un logiciel de calcul formel (Maple), je divise P par (X-1)^2 et cela me donne un Q très long et très difficile à interpréter voir impossible à exploiter). C'est pour cette raison que je suis à la recherche d’éventuelles aides/indications me permettant de déduire si les racines liées à P sont réelles ou pas. P étant un polynome du second degré, une hypothèse facile permettant de vérifier la caractère réel des racines est de poser le discriminant de l'équation du second degré comme strictement positif... Je préférerais avoir à faire une hypothèse moins contraignante.
Ensuite, étant donné les racines réelles et vu que e>0, je pourrai facilement déduire l'intervalle sur lequel le polynôme du degré 4 est négatif.

[Ben314]

Le seul truc simple que je vois et qui peut même se "lire" directement sur le polynôme de degrés 4, c'est que, comme le facteur (x-1)^2 est toujours positif, si tu trouve ne serait-ce qu'un x particulier pour lequel f(x) est du signe opposé au terme de plus haut degré, tu es sûr que le polynôme admet 2 racines réelles...