[Licence 1ère année ] Détermination d'ensembles

[Anonyme]

Bonjour je ne parviens pas a trouver un raisonnement "mathématique" pour
démontrer l'égalité suivante :

{ x dans [ 0, 1 ] tel qu'il existe un entier n tel que n >= 1 et 1 / n
<= x <= 1 } = ] 0 , 1 ] (1)

Avec mes maigres aquis de terminale et mon intellect peu développé;
j'avance : n >= 1 donc 1 / n > 0 et ainsi : 0 < x <= 1 <=> x dans ] 0 ,
1 ] (ne riez pas trop svp..)
Mais a la question suivante,
on me demande de déterminer explicitement l'ensemble : { x dans [ 0, 1 ] tel
que pour tout entier positif n on a 1 / n <= x <= 1 } (2)
Ainsi je doute de la validité de ma réponse.
Est ce que l'un d'entre vous pourrait me guider sur la démonstration de la
première égalité
et m'expliquer la différence entre l'ensemble (1) et l'ensemble (2)
impliquée par la différence de quantificateur ?
Merci d'avance.
Bonnes mathématiques
A bientôt
Yohann

[Anonyme]

Salut

> { x dans [ 0, 1 ] tel qu'il existe un entier n tel que n >= 1 et 1 / n
>
> Avec mes maigres aquis de terminale et mon intellect peu développé;
> j'avance : n >= 1 donc 1 / n > 0 et ainsi : 0 x dans ] 0 ,
> 1 ]

Non ... Là tu montres "à peu près" que l'ensemble S est inclus dans ]0,1].
Mais pas l'inclusion réciproque.
Proprement, tu dois prendre un x dans l'ensemble de départ, montrer qu'il
est dans ]0,1] (car plus petit que 1 et car il existe n >=1, x>=1/n >0),
puis prendre un élément de ]0,1] et montrer qu'il est dans S (car
l'inéquation x>=1/N N>=1/x a toujours des solutions: suffit de prendre N
suffisamment grand, égal par exemple à la partie entière de 1+1/x).
Quand on te demande une égalité, procède systématiquement par double
inclusion.

> Mais a la question suivante,
> on me demande de déterminer explicitement l'ensemble : { x dans [ 0, 1 ]
tel
> que pour tout entier positif n on a 1 / n

Prends un x dans [0,1], par exemple 0.5. Se peut-il que 1/n <=x <= 1 pour
tout n ? Pour le x<=1 ok (ça sera toujours vrai). Mais pour que 1/n <= x
soit vrai pour tout n il faut en particulier que ça soit vrai pour n=1, donc
que: 1 <= x. Donc x ne peut prendre que la valeur 1, et si x prend cette
valeur, alors il vérifie (2).
L'ensemble 2 est donc réduit à {1}.

[Anonyme]

Merci pour ta réponse