Déterminant et continuité

[JésugnonADJAKIDJE]

Salut à tous.
J'ai un petit problème et j'ai besoin de votre aide.
Je veux montrer que GLn(K) est un ouvert de Mn(K).
Mais je veux me servir de la continuité de det. Le problème c'est que je ne sais pas comment prouver que det est continue sur Mn(K).
Merci de m'orienter.

[Sylviel]

Det est un polynome des coefficients des matrices.

[JésugnonADJAKIDJE]

J'ai pas compris ce que tu veux dire par " Det est un polynome des coefficients des matrices."

[GaBuZoMeu]

Exemple : pour une matrice 2x2 de coefficients indéterminés , le déterminant est un polynôme en les coefficients .

[JésugnonADJAKIDJE]

Je vois. Merci bien.

[pascal16]

PS : il faudrait préciser pour quelle norme sur Mn(K).

une démo un peu plus "propre" qui impose la norme utilisée :
https://www.prepamag.fr/concours/pdf/corriges.pdf.extraits/2010/PSI_MATHS_MINES_2_2010.extrait.pdf


si je me rappel bien une seconde étape est d'utiliser l'équivalence des normes pour pouvoir se passer de la norme utilisée.

[GaBuZoMeu]

Non, il n'est pas besoin de préciser la norme. La continuité est une question de topologie, et la topologie sur est la topologie produit. Il est bien évident qu'un polynôme en variables est une fonction continue sur (somme de produits de fonctions continues, les fonctions coordonnées étant continues par définition de la topologie produit).

[pascal16]

Il faut juste utiliser ce qui a déjà été démontré en cours.

[GaBuZoMeu]

Euh, pascal16, comment fais-tu pour savoir ce qu'il y a dans le cours du questionneur ????

Tu affirmes "il faudrait préciser la norme", j'ai répondu en expliquant pourquoi ce n'est pas une obligation.

[Lostounet]

Salut à tous.
J'ai un petit problème et j'ai besoin de votre aide.
Je veux montrer que GLn(K) est un ouvert de Mn(K).
Mais je veux me servir de la continuité de det. Le problème c'est que je ne sais pas comment prouver que det est continue sur Mn(K).
Merci de m'orienter.

Salut,
Quel est le déterminant d'une matrice non inversible?

Du coup le déterminant d'une matrice inversible est toujours un élément de R\{0} (R privé de 0). Ceci est un ouvert.

Comme le det est une application continue, on peut voir GLn comme image récriproque par cette application continue de l'ouvert R\{0}... Donc...

PS: en maths spé je ne sais pas si on insiste tellement sur la topologie, séparée ou pas etc je ne sais plus trop c'est quoi le programme. Donc affiner la rédaction en fonction...?

[infernaleur]

Salut lostounet,
il me semble qu'en maths spé on voit que les espaces métriques et les espaces vectoriels normés.

[GaBuZoMeu]

Euh... Avez-vous un service de renseignement spécial qui vous a informé que le questionneur est en math spé ?