Déterminant et aire du triangle

[the_pooh12]

Bonsoir,


J'ai comme données un triangle ABC quelconque. Je voudrais montrer que |det(AB,AC)| = |det(AB,BC)| = |det(BA,BC)|.
J'ai trouvé que si je me plaçais dans le repère orthonormé (B,i,j) avec i un vecteur unitaire de BC, et j un vecteur unitaire perpendiculaire à i, alors |det(BC,BA)| = BC*AH

Mais comment montrer que c'est égal à AC*BI et que c'est aussi égal à AB*CJ sans utiliser la formule de l'aire d'un triangle ?

H est le pied de la hauteur issue de A, I celui de la hauteur issue de B et J celui de la hauteur issue de C.

Je vous remercie par avance de votre réponse !

[yos]

det(AB,AC)=det(AB,AB+BC)=det(AB,AB)+det(AB,BC)=0-det(BA,BC)=det(BC,BA)

[the_pooh12]

Mais comment montrer que c'est égal à AC*BI et que c'est aussi égal à AB*CJ sans utiliser la formule de l'aire d'un triangle ?
Faut-il rester dans la même base que celle où j'ai trouvéd et(BC,BA)= BC*AH ?

[yos]

J'ai comme données un triangle ABC quelconque. Je voudrais montrer que |det(AB,AC)| = |det(AB,BC)| = |det(BA,BC)|.

Je voulais dire que ceci se fait sans passer par l'aire de ABC.

Maintenant si tu tiens vraiment à le relier à l'aire, montre que c'est en utilisant ton repère.

[the_pooh12]

oki ça j'ai compris. Mais je cherche le résultat avec les longueurs des hauteurs !

[yos]