Produit vectoriel aire triangle

[mperrin]

Bonjour à tous,

Je suis un peu bloquée sur un exercice concernant les vecteurs. L'énoncé est de calculer l'aire du triangle ABC. Il faut utiliser la formule
s= 1/2 IIvecteur AB^ vecteur ACII et j'ai trouvé pour le produit vectoriel du vecteur AB^vecteur AC: 2i+ j +k (avec la flèche du vecteur dessus )
Cela va vous paraître sans doute très simpliste, mais pourriez-vous me rappeller de façon détaillée comment passer de mon résultat du produit vectoriel à l'application de la formule??? (exo à faire sans avoir le cours ...)

Merci d'avance

[Robot]

Tu ne sais pas calculer la norme d'un vecteur dans une base orthonormée ? Revois d'urgence ton cours.

[Romy]

Le produit vectoriel d'un triangle ABC pris dans l'espace est un vecteur, qui indique le double de l'aire par le module et l'orientation spatiale du triangle par la direction (perpendiculaire, quant à elle, à l'aire).

[Robot]

la direction (perpendiculaire, quant à elle, à l'aire)

Une aire est un nombre. Comment une direction pourrait-elle être perpendiculaire à un nombre ?

[Romy]

la direction (perpendiculaire, quant à elle, à l'aire)

Une aire est un nombre. Comment une direction pourrait-elle être perpendiculaire à un nombre ?

Pas que...Une aire est également une surface plane et donc une direction peut lui être perpendiculaire.

[Robot]

Non. L'aire est une grandeur. Parler de direction perpendiculaire à une aire est un contresens, je maintiens.

"En mathématiques, l'aire est une grandeur relative à certaines figures du plan ou des surfaces en géométrie dans l'espace."

D'ailleurs, tu l'utilises correctement quand tu écris "qui indique le double de l'aire par le module". Tu vois bien que l'aire est une grandeur.

[Romy]

J'avais assimilé la valeur (mesure) à la figure (la) contenant selon le sens générique et pas que mathématique.

Aux classes de collèges, il est dit: " l'aire est une grandeur relative à certaines figures du plan ou des surfaces".
Ainsi , une aire géométrique s'exprime par un nombre suivi d'une unité d'aire. La surface désigne son contour.

En effet, selon la théorie de la mesure enseignée vers l'agrégation, l'aire est explicitée comme une application.
Dans le livre "Mathématiques d'école" de Daniel Perrin, il définit l'aire comme une application μ| d'une partie Q| de E| (E|=plan euclidien, Q| est appelé l'ensemble des parties "quarrables") dans R+| comme vérifiant ceci :
i) μ(C)=1| pour C| carré de côté 1|.
ii) μ(A∪B)=μ(A)+μ(B) pour A| et B| disjointes.
iii) μ| invariante par isométrie.
iv) μ| homogène : si h| est une homothétie de rapport λ|, si A| est dans Q|, alors : μ(h(A))=λ2μ(A)|
Ces axiomes sont ceux que l'on attend raisonnablement des mesures d'aire. Les polygones sont bien dans Q|.

[capitaine nuggets]

Salut !

En effet, selon la théorie de la mesure enseignée vers l'agrégation, l'aire est explicitée comme une application.
Dans le livre "Mathématiques d'école" de Daniel Perrin, il définit l'aire comme une application μ| d'une partie Q| de E| (E|=plan euclidien, Q| est appelé l'ensemble des parties "quarrables") dans R+| comme vérifiant ceci :
i) μ(C)=1| pour C| carré de côté 1|.
ii) μ(A∪B)=μ(A)+μ(B) pour A| et B| disjointes.
iii) μ| invariante par isométrie.
iv) μ| homogène : si h| est une homothétie de rapport λ|, si A| est dans Q|, alors : μ(h(A))=λ2μ(A)|
Ces axiomes sont ceux que l'on attend raisonnablement des mesures d'aire. Les polygones sont bien dans Q|.

Pour ii), on a même mieux que A et B disjoints : μ(A∪B)=μ(A)+μ(B) dès lors que A∩B est négligeable i.e. μ(A∩B)=0 (ou encore A∩B est d'intérieur vide).

[Robot]

il définit l'aire comme une application μ| d'une partie Q| de E| (E|=plan euclidien, Q| est appelé l'ensemble des parties "quarrables") dans R+|

Quitte à citer Perrin, tu devrais le citer correctement. L'application n'est sûrement pas définie sur une partie de .

[capitaine nuggets]

Ah oui tiens, j'avais pas prêté attention...