Déterminant aire barycentre

par **Jean16** » 13 Nov 2010, 19:24

Bonsoir,
j'aurais besoin d'aide pour cette exercice
Soit ABC un triangle, M un point interieur au triangle. (en gras = vecteur)
1) Montrer que Det(MB,MC).MA + Det(MC,MA).MB+Det(MA,MB).MC=0
2) En déduire que M est la barycentre de A,B,C affectés de coefficients bien choisis.
3)Montrer qu'il existe un point M et un seul tel que les aires MAB,MBC,MAC soient égales.
4)Montrer que le centre I du cercle inscrit est le barycentre de (A,a),(B,b),(C,c) a=BC, b=AC, c=AB
5) Soit D l'intersection de AI avec BC montrer que D est la barycentre de (B,b),(C,c)

Je n'arrive pas à commencer l'exercice si vous pouvait me mettre sur la voie pour les premières questions
Merci !

par **Ben314** » 13 Nov 2010, 20:27

Salut,
Une méthode un peu bourrin mais qui fonctionne est de tout écrire en fonction de AB, AC et AM en utilisant la multilinéarité du déterminant ainsi que la relation de Chasles. Par exemple :
det(MB,MC)=det(AB-AM,AC-AM)=det(AB,AC)-det(AB,AM)-det(AM,AC)+det(AM,AM)
=det(AB,AC)-det(AB,AM)+det(AC,AM)+0

Tu conclue ensuite en disant que AM=b.AB+c.AC vu que (AB,AC) est une base.

par **Jean16** » 14 Nov 2010, 10:45

Bonjour,
j'ai bien exprimé tout les déterminant mais je comprend pas, un déterminant c'est un nombre non ? comment peut-on faire un produit scalaire avec un nombre ?
Pour ce qui est des aires également je vois pas par ou partir...
Merci de votre aide.

par **Ben314** » 14 Nov 2010, 11:49

Dans une expression du style

effectivement

est un réel et

est un vecteur.
Cela signifie que le point entre les deux est à considérer comme un produit réel x vecteur et pas comme un produit scalaire (Si

est un vecteur, on peut par exemple calculer

)
Concernant les surfaces, tu as sans doute vu que, étant donné deux vecteurs

et

du plan, le réel positif

est en fait la surface du parallélogramme "engendré" par

et

, c'est à dire de sommets

,

par **Jean16** » 14 Nov 2010, 12:02

Pour les question 1) et 2) je vois toujours pas comment faire après avoir exprimé tout les déterminants et dévellopé tout avec les scalaire
Pour 3)cela veut dire que je dois résoudre quant est ce que det(MB,MC) = det (MC,MA) = det (MA,MB) ?
Difficile à résoudre non ?

par **Ben314** » 14 Nov 2010, 12:30

Concernant la 2), il n'y a aucun calculs à faire : c'est une (trés bête) déduction de la 1).

Pour la 1), perso, j'écrirais :
Si, pour simplifier, on pose

,

et

on a :

Puis, une fois simplifié, tu dit que, vu que ABC est non dégénéré,

et

sont non colinéaires et donc qu'ils forment une base du plan vectoriel. Il existe donc deux réels

(dépendant de M !!!) tels que

donc

(si tu te gourre pas dans les calculs...)

par **Jean16** » 14 Nov 2010, 13:21

je trouve det(u,v).(-x)-det(u,x).(-x)-det(x,v).(-x)-det(v,x).(u-x)+det(-x,u).(v-x)
Je vois pas comment le simplifier

par **Ben314** » 14 Nov 2010, 14:54

Rappels :

;

et

...

par **Jean16** » 14 Nov 2010, 15:03

ca fait donc :
(-x)(det(u,v)-det(u,x)-det(x,v)-det(v,x)+det(-x,u))+ u (-det(v,x))+ v (det(-x,u) ?
(-x)(det(u,v) + u (det(x,v) + v det(u,x)

par **Ben314** » 14 Nov 2010, 15:08

As tu utilisé le fait que x=beta.u+gamma.v ?

par **Jean16** » 14 Nov 2010, 15:09

non je ne l'ai pas utilisé. je ne vois pas ou en fait
mais je trouve ça : (x) det (v,u) +u det (x,v) + v det (u,x)

par **Jean16** » 14 Nov 2010, 15:47

ca vous semble bon ?

par **Ben314** » 14 Nov 2010, 16:27

Oui, c'est correct.
Ensuite, le x=beta.u+gamma.v, il vient du fait que (u,v) est une base donc tout vecteur (en particulier x) peut s'exprimer en fonction de u et v.

Juste une remarque :

Jean16 a écrit:mais je trouve ça : (x) det (v,u) +u det (x,v) + v det (u,x)

En général, quand on fait un produit réel.vecteur, on met le réel en premier (as tu déjà écrit

à la place de

?) donc ...

par **Jean16** » 14 Nov 2010, 16:36

ok merci, c'est vrai que ma notation est peu pratique c'est le Det(...) qui m'a fait oublier que c'était un nombre.
Sinon pour la question 3 je dois résoudre quant est ce que det(MB,MC) = det (MC,MA) = det (MA,MB) ?
Difficile à résoudre non ?

par **Ben314** » 14 Nov 2010, 16:59

Jean16 a écrit:ok merci, c'est vrai que ma notation est peu pratique c'est le Det(...) qui m'a fait oublier que c'était un nombre.
Sinon pour la question 3 je dois résoudre quant est ce que det(MB,MC) = det (MC,MA) = det (MA,MB) ?
Difficile à résoudre non ?

A froid (i.e. sans indics), c'est pas évident à résoudre MAIS, tu as une ENORME indic : le résultat de la question 2 te dit que...

par **Jean16** » 14 Nov 2010, 17:29

M est le barycentre des points pondérés (A, Aire(MBC)) ; (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB))
Il existe un lien entre les aires et les barycentres ?

par **Jean16** » 14 Nov 2010, 18:44

J'imagine que c'est le centre de gravité ce point M qui coupe le triangle en trois aires égales mais comment montrer que c'est l'unique point ?

Déterminant aire barycentre

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