Dérivées n-ièmes

[Styrix]

Bonjour,

Dans des exercices que j'ai à faire, je dois calculer des dérivées n-ièmes.
Mais nous avons seulement vu la partie théorique dans le cours, donc je n'ai aucune idée de la méthode à adopter pour calculer une dérivée n-ième.

Voici les dérivées n-ièmes que j'ai à calculer :

1) sin(x)e^x
2) cos^3(x)

Quelle est la méthode à adopter ?

Merci d'avance.

[chan79]

Bonjour,

Dans des exercices que j'ai à faire, je dois calculer des dérivées n-ièmes.
Mais nous avons seulement vu la partie théorique dans le cours, donc je n'ai aucune idée de la méthode à adopter pour calculer une dérivée n-ième.

Voici les dérivées n-ièmes que j'ai à calculer :

1) sin(x)e^x
2) cos^3(x)

Quelle est la méthode à adopter ?

Merci d'avance.

salut
calcule les dérivées pour n=1, 2, 3, 4 ... histoire de voir leur tête

[lionel52]

1) Salut, sin(x)exp(x) = Im(exp((1+i)x)
En dérivant n fois il faut chercher la partie imaginaire de
(1+i)^n*exp((1+i)x)
et (1+i) = exp(ipi/4) donc c'est pas trop compliqué.

Sinon tu peux test une formule par récurrence en calculant quelques dérivées successives.

2) cos^3(x) => -3sin(x)cos²(x) = -3sin(x) + 3.sin^3(x) => -3cos(x) + 9cos(x)sin²(x) = 6cos(x) - 9cos(x)^3


Tu peux essayer aussi par récurrence en différenciant entiers pairs et impairs.

Sinon tu peux toujours exprimer cos^3(x) sous la forme 1/2 * (exp(ix) + exp(-ix))^3, développer et linéariser en fonction des cos(3x) et compagnie

[Carpate]

Dériver successivement f en repérant les termes qui sont communs
Par exemple les 6 premières dérivées successives de f sont :






Au terme près, il y a une certaine périodicité ...

[Carpate]

Bonjour,

Dans des exercices que j'ai à faire, je dois calculer des dérivées n-ièmes.
Mais nous avons seulement vu la partie théorique dans le cours, donc je n'ai aucune idée de la méthode à adopter pour calculer une dérivée n-ième.

Voici les dérivées n-ièmes que j'ai à calculer :

1) sin(x)e^x
2) cos^3(x)

Quelle est la méthode à adopter ?

Merci d'avance.

Dériver successivement f en repérant les termes qui sont communs
Par exemple les 6 premières dérivées successives de f sont :






Au terme près, il y a une certaine périodicité ...

[zygomatique]

1) Salut, sin(x)exp(x) = Im(exp((1+i)x)
En dérivant n fois il faut chercher la partie imaginaire de
(1+i)^n*exp((1+i)x)
et (1+i) = exp(ipi/4) donc c'est pas trop compliqué.

Sinon tu peux test une formule par récurrence en calculant quelques dérivées successives.

2) cos^3(x) => -3sin(x)cos²(x) = -3sin(x) + 3.sin^3(x) => -3cos(x) + 9cos(x)sin²(x) = 6cos(x) - 9cos(x)^3


Tu peux essayer aussi par récurrence en différenciant entiers pairs et impairs.

Sinon tu peux toujours exprimer cos^3(x) sous la forme 1/2 * (exp(ix) + exp(-ix))^3, développer et linéariser en fonction des cos(3x) et compagnie

salut

[chan79]

Dériver successivement f en repérant les termes qui sont communs
Par exemple les 6 premières dérivées successives de f sont :






Au terme près, il y a une certaine périodicité ...

revoir le calcul pour

[Carpate]

revoir le calcul pour

J'avis mal recopié mes calculs et décalé :









Au terme (-2)^k près, il y a une certaine périodicité ...

[chan79]

J'avis mal recopié mes calculs et décalé :









Au terme (-2)^k près, il y a une certaine périodicité ...

[zygomatique]

....

[mathelot]

Im() et commutent.

pour (ii) il s agit de linéariser cos^3(x) via la formule du binome (de l'anti De Moivre en quelque sorte :we: )

[Styrix]

Je vois, merci pour vos réponses !
Je pense que je pourrai m'en sortir avec ça ;)

[mathelot]

Im() et commutent.

autre méthode

On utilise la formule de dérivation d'un produit (formule de Newton)

[mathelot]

[mathelot]

Voici les dérivées n-ièmes que j'ai à calculer :

Quelle est la méthode à adopter ?

Merci d'avance.

Dans les cas désespérés, on peut également chercher une EDO que vérifie y,
qui devient comme une sorte de point fixe d'un opérateur de dérivation,

ou développper y en série entière.