Dérivées directionnelles, différentielle seconde

[elvis77]

Bonsoir a tous, je dois calculer la d²f(0)(h,h) d'une fonction deux fois différentiable de E dans F (des espaces de Banach) sachant que pour tout t dans R, f(tx)=t²f(x)
En fait je dois montrer que d²f(0)(h,h) = 2f(h) :
Je pensais utiliser les dérivées directionnelles mais je suis bloqué, je ne vois pas comment procéder, si quelqu'un à un plan, je suis preneur.
Merci bien, cordialement.

[Ben314]

Salut,
Ecrit la formule de Taylors à l'ordre 2 en puis, pour (fixé) et (variable), écrit que et regarde ce que tu peut en déduire...

[elvis77]

Merci de votre réponse, j'obtiens au final :
2f(h)=d²f(0)(h,h) + 2||h||²o(1) que faire ensuite avec ce petit o ?
sachant que dans l'exo on nous demande de montrer uniquement 2f(h)=d²f(0)(h,h)
Bien a vous.
Cordialement

[Ben314]

Ben, ici, ton "o(1)" il est pas super clair : un o(1) ça veut dire un truc qui tend vers 0 quand la variable tend vers 0, sauf que la variable, on voit pas trop qui c'est ici...
Normalement, si tu as fait les calculs comme je les aurais fait, ton "o(1)", en fait il tend vers 0 lorsque t tend vers 0 (le t que tu as du introduire au dessus) et, normalement, tu as déja fait tendre le t vers 0 au dessus d'où, ton "o(1)"... il vaut 0.

[elvis77]

lorsque j'écris la formule de taylor à l'ordre 2 en O j'obtiens
f(h)=df(0)(h)+1/2 d²f(0)(h,h)+||h||²o(1) c'est la formule que j'a dans mon cours.
Puis je l'applique en th j'obtiens
f(th+h)=f((t+1)h)=(t+1)df(0)(h)+1/2(t+1)²d²f(0)(h,h)+(t+1)²||h||²o(1)
puis je fais tendre t->0 mais mon o(1) ne disparait pas ?!
merci de votre aide
cordialement

[Ben314]

Oui, mais l'incovéniant de la notation o(1) que tu emploie ici, c'est qu'on ne voit pas bien de quoi ça dépend : dans la "formule du cours", c'est clair, ça dépend de h, mais lorsque tu remplace par "t fois h"...
Je te donne "ma prose" (quasi identique sauf pour le o(1)) :

où est une fonction de dans qui tend vers en .
Si on fixe , alors, pour tout , on a :

Si tu fait tendre vers 0, tu en déduit que
Puis, si tu divise par et que tu fait tendre vers 0, tu en déduit que
Puis, si tu divise par et que tu fait tendre vers 0, tu en déduit que
Car, lorsque vers 0, tend vers donc vers

En résumé, si tu veut rédiger avec du "o(1)", il faut comprendre que le "o(1)" de la formule du cours tend vers 0 lorsque h->0. Donc, quand tu remplace h par t.h, le "nouveau" o(1) tend vers 0 lorsque t.h->0, donc, pour h fixé, il tend vers 0 lorsque t->0.

[elvis77]

ok c parfait en fait je faisais aussi une erreur dans la formule de taylor, j'oubliais le terme f(0) (le cas ou j=0 pour la somme de taylor)
c'est plus clair pour moi le petit o.
Merci bien pour votre patience
Cdt