Différentielle seconde

par **marius1986** » 10 Déc 2009, 15:12

Bien le bonjour à vous,
J'aimerai savoir comment faire pour montrer que la différentielle seconde d'une application est une application bilinéaire symétrique

Merci d'avance

par **Ben314** » 10 Déc 2009, 15:53

Bonjour,
Cela s'appelle "le Théorème de Schwarz".
ATTENTION, il faut supposer les dérivées partielles secondes continues.
Preuve (et contre exemple sans la continuité) sont (évidement) là :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Schwarz

par **Arkhnor** » 10 Déc 2009, 17:10

Bonjour.

Si l'application est deux fois différentiable, ça reste vrai, sans hypothèses sur les dérivées partielles.

par **Ben314** » 10 Déc 2009, 17:24

Tout à fait.... donc je fait un mea-culpa...

(mais vu la question qu'il pose, je sais pas si la différence va pas un peu lui échapper...)

par **Arkhnor** » 10 Déc 2009, 17:35

Certes, mais ses autres topics montrent qu'il fait du calcul diff dans les evns, donc a priori pas de dérivées partielles.

par **Arkhnor** » 10 Déc 2009, 17:37

D'ailleurs, dans ce cadre, la preuve y est légèrement plus compliquée.
Le mieux est de consulter un livre de calcul diff, on y trouve la démonstration à coup sûr.

par **mathelot** » 10 Déc 2009, 22:08

re,

elle l'est modulo l'identification

entre les applications linéaires qui dépendent linéairement d'un paramètre
et les applications bilinéaires

par **marius1986** » 11 Déc 2009, 09:12

je crois que vous n'avez pas bien saisi mon pb.
J'ai f une fonction définie sur un espace de Banach, et

sa différentielle seconde, je veux montrer que

est bilinéaire symétrique.

Merci d'avance

par **Arkhnor** » 11 Déc 2009, 11:35

Si, on a très bien saisi ton problème, ça s'appelle le Théorème de Schwartz.

Celui de Wikipédia est celui en dimension finie, mais en dimension quelconque, c'est toujours le même.
Et mon conseil est le même, trouve un cours en ligne ou un bouquin pour la démonstration. (un peu technique)
Je pense par exemple au cours de Calcul diff d'Henri Cartan.

(au passage, la bilinéarité est évidente, par définition, c'est la symétrie qui l'est beaucoup moins, une méthode de démonstration consiste à approcher cette application par une autre qui est symétrique)

par **Ben314** » 11 Déc 2009, 11:59

Il me semble quand même que le cas dim finie dim infinie ne pose aucun problème :
Si

, pour montrer que

, il suffit de considérer la fonction

et de vérifier que ces deux dérivées partielles secondes en x,y et en y,x sont égales...
(on peut même faire "atterrir"

dans

en composant par une forme linéaire continue quelconque sur

)

M'abuserais-je ?

par **Arkhnor** » 12 Déc 2009, 09:40

Je ne vois pas comment la preuve en dimension finie peut s'étendre directement.
A priori, il faudrait supposer que la fonction est C^2, et pas seulement 2 fois différentiable, pour appliquer le raisonnement de Wikipédia à tes deux dérivées partielles. (du moins, il me semble, je n'ai pas posé la démo par écrit pour vérifier)

Et si on compose à l'arrivée par des formes linéaires, on devra conclure avec Hahn-Banach.

par **Ben314** » 12 Déc 2009, 12:06

Je ne vois pas comment la preuve en dimension finie peut s'étendre directement.

En utilisant la fonction du post précédent, je pense qu'il n'y a pas de problèmes.

A priori, il faudrait supposer que la fonction est C^2, et pas seulement 2 fois différentiable, pour appliquer le raisonnement de Wikipédia à tes deux dérivées partielles. (du moins, il me semble, je n'ai pas posé la démo par écrit pour vérifier)

Tout à fait d'accord : la preuve de Wikipédia marche pour les fonctions C^2 (y compris en dimension infinie). Pour prouver le résultat avec "seulement" deux fois différentiable, il faut une autre preuve.

Et si on compose à l'arrivée par des formes linéaires, on devra conclure avec Hahn-Banach.

De nouveau, parfaitement d'accord. Sauf que, si on trouve une preuve pour les fonctions de R^2->R deux fois différentiables, il y a de forte chance que la même preuve marche pour les fonctions de R^2->F (je ne vois pas où l'ensemble d'arrivé peut jouer dans la preuve)

Et mon conseil est le même, trouve un cours en ligne ou un bouquin pour la démonstration

J'ai suivi ton conseil :
http://www-gat.univ-lille1.fr/~flaminio/M403/2009-2010/chap1.pdf
[ Théorème 1.6.3 (Théorème de Schwarz) ]

par **Arkhnor** » 12 Déc 2009, 14:50

Pour prouver le résultat avec "seulement" deux fois différentiable, il faut une autre preuve.

C'est ce que demandait marius1986, et c'est pourquoi on ne s'est pas entendu, je croyais que ton idée de preuve était pour ce problème là.

J'ai suivi ton conseil : http://www-gat.univ-lille1.fr/~flam...-2010/chap1.pdf

C'est à peu de choses près la démo que je connaissais.
Elle n'est pas insurmontable, loin de là, mais je la trouve un peu technique. ^^

par **marius1986** » 12 Déc 2009, 17:54

Merci a tous pour vos aides,j'ai trouvé satisfaction à mon problème

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