Dérivée

[legeniedesalpages]

Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert . Soit un point de .

(1) On suppose que et que f est de classe ().

Montrer qu'il existe une (unique) fonction continue telle que pour tout . Montrer que est de classe .

Voilà ce que j'ai fait:

Pour l'existence:

on peut prendre pour .

Comme quand par valeurs différentes de ,

g définie par convient.



Pour l'unicité:

si , on a .

Par continuité de et au point , on a

,

d'où l'unicité.

Après je ne vois pas comment montrer que est de classe .

Merci pour votre aide.

[barbu23]

Salut "legeniedesalpages" :
J'ai pas lu entièrement ton message .. mais pour repondre à ta dernière question , je pense qu'il faut proceder par recurrence ... c'est comme ça qu'on fait generalement pour ce genre de question ... donc, voilà ... bon courage pour la suite !! :happy:

[SimonB]

Sauf erreur de ma part, une formule de Taylor (reste intégral par exemple) fait très bien l'affaire, sans besoin de récurrence !

[legeniedesalpages]

Sauf erreur de ma part, une formule de Taylor (reste intégral par exemple) fait très bien l'affaire, sans besoin de récurrence !

ok, déjà j'ai un souci, je pense que la formule de Taulor avec reste intégral du prof est fausse. Il nous a donné ça:

Si est fois dérivable au point , on définit une fonction polynômiale par:

.


Formule de Taylor avec reste intégral: On suppose que sont contenus dans , et que la fonction est fois dérivable qur et fois dérivable sur . ALors il existe un réel tel que:



Je pense qu'il devrait y avoir un quelque part dans la formule, mais je ne vois pas où.

[edit] non en fait c'est bon, j'ai compris, il n'y avait pas d'erreur.

[legeniedesalpages]

Si b

[ThSQ]

Effectivement ça se fait fort bien avec le reste intégral (mais les théorèmes sur les intégrales dépendant d'un paramètre trivialisent le truc non ?).

De surcroit

[legeniedesalpages]

Effectivement ça se fait fort bien avec le reste intégral (mais les théorèmes sur les intégrales dépendant d'un paramètre trivialisent le truc non ?).

De surcroit

ok donc on a ,

donc je vois bien que est de classe (même ),

par contre c'est pas clair que est de classe . :hein: