Dérivée (2)

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

Soit une fonction réelle continue sur un intervalle .
Soit .

Par définition, il existe tels que et .

Pourquoi si et , n'atteint pas son sur ni au point , ni au point ?

Merci.

[legeniedesalpages]

g n'atteint pas son max sur [a,b] au point a, ça me paraît naturel, mais je vois pas pourquoi le max ne serait pas atteint en b.

[legeniedesalpages]

c'est bizarre en plus, ça me parait faux,

si je prends la fonction avec a=-1 et b=2, on est sous ces hypothèses et pourtant le max de f sur [a,b] est atteint en b, non?

[klevia]

Salut, tout d'abord je préciserai que sans doute f doit être C1 sur I.
Si f'(a)>0 alors il existe un voisinage de a inclus dans I ou f est strictement croissante d'ou il existe R ou f(a+R)> f(a) d'ou pas de max en a ...
De même , si f'(b)<0 alors il existe un voisinage de B où f est strictement décroissante d'ou il existe R' ou f(b-R')>f(b) et d'ou pas de max en b...

[legeniedesalpages]

salut, non apparemment f n'est pas supposée C1, juste dérivable.

après c'est pour le point b que ça bloque, parce que sur le voisinage que tu as pris à gauche de b, les x ont une image plus petite que celle de b, donc je ne vois pas pourquoi ça montre que le max n'est pas atteint en b. :marteau:

[legeniedesalpages]

ah non pardon, je vien de voir mon erreur, mais par contre f n'a pas besoin d'être C1.

[klevia]

Ben non, si f'(b)<0 alors il existe R'>0 tq sur [b-R',b] f est strictement décroissante d'ou pour tout x appartenant à [b-R',b[ f(x)>f(b)

[legeniedesalpages]

J'ai une autre question,

est-ce qu'il existe des fonctions non continues (I étant un intervalle réel), où est un intervalle ouvert, qui vérifient le théorème des valeurs intermédiaires?

[klevia]

Je pense que tu as raison pour C1, juste dérivable devrait suffire...

[legeniedesalpages]

Ben non, si f'(b)0 tq sur [b-R',b] f est strictement décroissante d'ou pour tout x appartenant à [b-R',b[ f(x)>f(b)

oui oui je suis d'accord, j'avais mal interprété, désolé. :stupid_in

[legeniedesalpages]

J'ai une autre question,

est-ce qu'il existe des fonctions non continues (I étant un intervalle réel), où est un intervalle ouvert, qui vérifient le théorème des valeurs intermédiaires?

D'après l'article de wiki la dérivée de la fonction ([url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Darboux_(analyse)]http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Darboux_(analyse)[/url] ) pour , et est un tel exemple.

Donc si je comprends bien, h est continue et dérivable sur IR, h' n'est par contre par continue, c'est bien ça?

[klevia]

Salut, je crois que ta fonction x²sin(1/x) et f(0)=0 est continue sur R donc elle ne reponds pas à la question !!!

maintenant j'en cherche une qui marche ...

[ThSQ]

[quote="legeniedesalpages"]Bonsoir,

Soit une fonction réelle continue sur un intervalle .
Soit .

Par définition, il existe tels que et .

Pourquoi si et [TEX]f'(b) f'(a)/2 pour x assez proche de a et > a

[ThSQ]

D'après l'article de wiki la dérivée de la fonction ([url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Darboux_(analyse)]http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Darboux_(analyse)[/url] ) pour , et est un tel exemple.

Donc si je comprends bien, h est continue et dérivable sur IR, h' n'est par contre par continue, c'est bien ça?

Oui, avec les x^p sin(1/x^n) on peut construire des contrex à l'ordre que l'on veut !

[legeniedesalpages]

Oui, avec les x^p sin(1/x^n) on peut construire des contrex à l'ordre que l'on veut !

salut ThsQ,

ben en fait je trouve que h est dérivable sur IR, et sa dérivée est définie par , mais par quel argument on montre qu'elle n'est pas continue en 0?

[legeniedesalpages]

c'est parce que h' n'est pas définie en 0, simplement?


[edit]:

Oui, avec les x^p sin(1/x^n) on peut construire des contrex à l'ordre que l'on veut !

ok avec p,n>1 je présume.

[legeniedesalpages]

Encore une chose que je ne comprends pas:

on considère la fonction qui est égale à si , 0 si , pourquoi le fait que quand entraîne que est une fonction dérivée?

[edit]: Bon en fait c'est bon, ce point je l'ai compris :marteau: