Dérivée

[zaidoun]

Bonjour,

J'ai deux questions:

1)Soit f une fonction définie sur un ensemble D à valeurs réelles, est ce qu'on a : f'= 0 sur D implique que f est constante sur D?

2) Soit P un polynôme dans K[X] avec K est un corps quelconque, même chose est ce qu'on a

P'=0 implique que P est constant?

Merci d'avance.

[jonses]

Salut,

1)Soit f une fonction définie sur un ensemble D à valeurs réelles, est ce qu'on a : f'= 0 sur D implique que f est constante sur D?

(euh j'imagine que D est une partie de R)
Dans ce cas c'est non clairement.
exemple la fonction f définie sur par : (j'ai fait une petite coquille c'était et non pas )



D est bien une partie de R et on a bien pour tout x de D : f'(x)=0
Mais pour autant f n'est pas constante sur D

En revanche la proposition est vrai si D est un intervalle de R.

[zaidoun]

salut,
Mais l'exemple que tu as donné n'est dérivable, non? peut être moi aussi j'ai dit des bêtises

[jonses]

salut,
Mais l'exemple que tu as donné n'est dérivable, non? peut être moi aussi j'ai dit des bêtises

Montrons ensemble qu'elle est dérivable :

Soit x dans comme x 0[/tex] tel que (il suffit de prendre par exemple )

Alors pour tout t dans I distinct de x on a : qui tend clairement vers 0 lorsque t tend vers x. Et ce pour tout x de

Tu fais de même sur

Tu obtiens finalement que pour tout x de R privé de 0, f'(x)=0

[Ben314]

2) Soit P un polynôme dans K[X] avec K est un corps quelconque, même chose est ce qu'on a
P'=0 implique que P est constant?

La question 2) est un peu vicieuse dans le cas d'un corps fini où les fonctions polynômes et les polynômes formels ne coïncident pas.
Par exemple, sur le corps Z/2Z, le polynôme P(X)=X²+X n'est pas un polynôme (formel) constant et pourtant, la fonction polynôme x->x²+x est la fonction nulle.

Concernant les polynômes formels, le résultat est faux : P(X)=X² sur Z/2Z n'est pas constant mais sa dérivée est le polynôme formel nul.
De façon plus générale, sur Z/2Z, tout polynôme sans exception vérifie P''=0 et ça n'implique donc absolument rien pour P.

Pour la 1), je confirme que c'est effectivement faux si on ne rajoute pas l'hypothèse que D est un intervalle.

[jonses]

Merci Ben314 pour le contre-exemple

...bon il faut que j'efface ma bêtise

[Ben314]

Merci Ben314 pour le contre-exemple
...bon il faut que j'efface ma bêtise

Je pense que c'est peut-être en se trompant qu'on apprend le plus...

[zaidoun]

"Par exemple, sur le corps Z/2Z, le polynôme P(X)=X²+X n'est pas un polynôme (formel) constant et pourtant, la fonction polynôme x->x²+x est la fonction nulle."

J'ai pas bien compris pourquoi P(X) n'est pas constant tandis que la fonction polynôme est nulle

Même chose pour "P(X)=X² sur Z/2Z n'est pas constant mais sa dérivée est le polynôme formel nul."

[Ben314]

J'ai un peu la flemme de faire un long post sur la différence entre polynômes formels / fonctions polynômes : si tu cherche sur google tu trouvera façilement pas mal de site expliquant la différence entre les deux notions.
Donc, juste dans les grandes lignes, l'idée, c'est que le même "polynôme formel" X^2+3X+5 peut (par exemple) désigner :
1) La fonction R->R;x->x^2+3x+5 qui n'est ni injective, ni surjective, qui ne s'annule jamais et qui est décroissante puis croissante.
2) La fonction C->C;z->z^2+3z+5 qui n'est pas injective, mais qui est surjective, qui s'annule en deux points distincts et qui ne risque pas d'être décroissante ou quoi que çe soit de ce style vu qu'il n'y a pas de relation d'ordre sur C.
3) La fonction M2(R)->M2(R);M->M^2+3M+5 (matrices carrées 2x2) qui n'est toujours pas injective, qui n'est pas surjective, qui s'annule pour une infinité de matrices et qui n'est de nouveau ni croissante ni décroissante vu qu'il n'y a pas de relation d'ordre sur M2(R).
etc, etc...