Dérivée

[Cryptocatron-11]

Bonjour,

Est il vrai que si f(x,y,z)=0

alors on peut écrire ???? C'est écrit ça dans mon cahier de thermodynamique :doh:

[Doraki]

Dans ce contexte, que penses-tu que "dx/dy" veuille dire ?

[Cryptocatron-11]

Dans ce contexte, que penses-tu que "dx/dy" veuille dire ?

Dans l'énoncé , on avait

soit f(x,y,z)=0
et on doit montrer que

Comment t'y prends tu ? car la preuve sur mon cahier n'a pas l'air fiable ....

j'aurai commencé par dire que

x=F(y,z)
y=G(x,z)
z=H(x,y)

puis calculer les différentielles mais bon ... après je bloque

[Doraki]

Pour pouvoir répondre à la question, il faudrait savoir ce que veut dire "dx/dy" et "dy/dx".
Moi je ne comprends la notation dy/dx que lorsque j'ai une fonction y : R^n -> R, où chaque argument de la fonction "y" a un nom bien précis, et qu'il y en a un qui s'appelle "x".

Ici, à la limite, d'après le contexte tu as une fonction f : R^3 dans R, et les arguments de f s'appellent x,y,z, et du coup je sais ce que c'est que df/dx, df/dy, df/dz : par exemple df/dx c'est la fonction de R^3 dans R, qui prend 3 arguments x, y, et z, et qui renvoie la limite quand h tend vers 0 de (f(x+h,y,z) - f(x,y,z))/h

Donc soit tu sais et tu essayes de m'expliquer ce que ça représente précisément pour que je puisse t'aider.
Soit tu sais pas et le problème c'est que tu te rends pas compte quand tu poses des questions que tu ne comprends pas.

[Cryptocatron-11]

Je suis un peu perdu dans tes notations :

Tu mets . On m'a toujours dit que quand il y avait plus d'une variable, on utilisait le et pas le "d". Ou alors on peut mettre le d mais ça veut pas dire la même chose.
Je suis convaincu que = (f(x+h,y,z) - f(x,y,z))/h
Par contre dire que =(f(x+h,y,z) - f(x,y,z))/h j'en suis pas convaincu.

Exemple dans R² pour faire simple. Soit f:=(x,y)--> xy
bah
Or

Soit tu sais pas et le problème c'est que tu te rends pas compte quand tu poses des questions que tu ne comprends pas.

L'exercice tel qu'il est donné par le prof de physique est le suivant

Soit une équation d'état quelconque, notée f(x,y,z)=0
Montrer que :

Est ce que tu vois mieux ce qu'on demande avec cet énoncé ?
tout ce qu'on sait c'est que f(x,y,z)=0 et c'est apparemment une équation pas une définition ...

[Doraki]

oui, je pensais aux dérivées partielles partout.

Mais tu ne m'as toujours pas dit si tu savais ce que représente.

Si je dis "soit l'équation d'état x+2y+3z = 0".
Est-ce que tu sais ce que c'est que le nombre en x=1,y=1,z= -1, et peux-tu le calculer ?

Parceque si tu sais pas, ce qu'il faut dire c'est "je ne comprends pas de quoi l'énoncé parle, pouvez-vous éclaircir cette notation dans ce contexte" et pas "cette ligne de mon cahier qui parle de trucs que je ne comprends pas m'a l'air douteuse".
Parceque en fait, cette ligne de ton cahier c'est très probablement un truc très proche de la définition de

[Cryptocatron-11]

Si on a l'équation x+2y+3z = 0 alors x=-2y-3z
Posons x=f(y,z). On a donc f(y,z)=-2y-3z

et ?

Donc en x=1,y=1,z= -1 ,

[Doraki]

D'accord, donc pour revenir à ton problème,
en supposant que t'aies 3 fonctions F,G,H telles que :
f(x,y,z) = 0 <=> x = F(y,z) <=> y = G(x,z) <=> z = H(x,y),

le "dx/dy" en un point (x,y,z) c'est la dérivée partielle de la fonction F par rapport à son premier argument ; et il faut montrer que c'est le quotient de la dérivée partielle de f par rapport à x et de la dérivée partielle de f par rapport à y.

Comme tu as f(x,y,z) = 0 <=> x = F(y,z), ça fait que pour tout y,z, f(F(y,z),y,z) = 0.
Et tu essayes de relier des dérivées de F avec des dérivées de f.

Ca donne quoi quand tu dérives cette égalité ?

[Cryptocatron-11]

Je trouve



mais je vois pas trop comment faire le lien avec les dérivées de F

Pour f on a

[Doraki]

ta notation est un peu mauvaise.
n'est pas une fonction, tu ne peux pas écrire .
La fonction c'est .

De plus, qu'est-ce que c'est que cette horreur ?
f a 3 arguments, x, y, et z. Il ne peut y avoir que 3 dérivées partielles, celle par rapport à x, celle par rapport à y, et celle par rapport à z.

Quand on dérive f(F(y,z),y,z), on obtient (en nommant y et z les arguments de F pour parler de ses dérivées partielles)
d(la fonction (y,z) -> f(F(y,z),y,z)) (y,z) =



Et donc comme chacun des deux morceaux est nul ça donne les relations cherchées.

[Cryptocatron-11]

et
Et donc comme chacun des deux morceaux est nul ça donne les relations cherchées.

dsl mais je ne vois pas pourquoi ces deux morceaux font 0 .

[Doraki]

Parceque la différentielle de la fonction constante égale à 0 c'est 0*dy + 0*dz.

[Cryptocatron-11]

Oui mais comment tu montres que

j'aimerais juste le détail de ce calcul

[Doraki]

La bidouille des deux dernières lignes sur le terme de gauche n'est pas rigoureuse mais ça marche si f est C1 et ce n'est pas le truc le plus important ici.
Le truc important c'est savoir ce que c'est qu'une dérivée partielle.