Dérivée

[busard_des_roseaux]

Bonjour,

soit une suite de terme général u(n) très irrégulière.
Par exemple, u(n) est le nombre de diviseurs de l'entier n.

Si je connais S(n) (que j'évalue grâce au théorème de Pick)



si on réécrit



où est la mesure de comptage des entiers

puis-je avoir une idée asymptotique de u(n) ?

Sachant que le nombre d'entiers dans
est

je pense que oui. (théorème taubérien , dérivation au sens de Malliavin ??)

merci d'éclairer ma lanterne.

[Ben314]

Salut,
Je vois pas trop quel type de déduction tu peut faire (ou alors je comprend pas l'énoncé) :
Il me semble que si on prend
1) Uk=1 pour tout k
ou bien
2) Uk=0 pour tout k sauf pour k=2^n où Uk=2^(n-1)
Dans les deux cas on a S(n)=n pour tout n alors qu'il me semble que le "comportement asymptotique " est légèrement différent...

Peut tu clarifier ta question ?

[busard_des_roseaux]

2) Uk=0 pour tout k sauf pour k=2^n où Uk=2^(n-1)

sur une tranche de
entiers consécutifs, il y a un seul entier qui prend tous les diviseurs pour lui tout seul ?

[Ben314]

C'est bien pour cela que je te demande de clarifier ta question :

Tu écrit : "Par exemple, u(n) est le nombre de diviseurs de l'entier n."

Pour moi, cela signifie que tu veut traiter un cas plus général que celui où u(n) est le nombre de diviseurs de l'entier n et je voulais te signaler que, en général (par opposition à "par exemple"), tu n'arriverais à rien...

De plus, je ne vois pas trop ce que tu veut dire par "comportement assymptotique" : pour la suite "nombre de diviseurs de l'entier n", la limite inf est évidente (c'est 2) et il me semble que le comportement assymptotique de la limite sup est faisable (c'est peut-être ça ta question ?)

[busard_des_roseaux]

Bon, de toute façon, si j'ai une formule close explicite
pour , je ferai F(x)=S(log2(x)) puis F', ce qui me donnera une idée de u ?

[Ben314]

Heuuu...
Dans ton S(n), n nest pas forcément un entier ?
(décidément, j'y comprend rien...)

Finalement, tu travaille avec une suite u(n) quelconque ou seulement avec la suite "nombre de diviseurs de n" ?