Dérivée et racines d'un polynôme

[jonses]

Bonsoir,

J'essaye de faire un exercice sur les polynôme, mais la voie que j'ai pris me bloque (calculs très lourds et inextricables) :

-

Soit

Je dois montrer que pour que la somme de deux des racines de P soit égale à la somme des deux autres, il faut et il suffit que

-

J'ai montré que si la somme de deux des racines de P sont égale à la somme des deux autres, alors

mais j'ai beaucoup de mal à montrer que si , alors la somme de deux des racines de P sont égales à la somme des deux autres.

Autrement dit cela revient à : si est racine de ,alors la somme de deux des racines de P sont égales à la somme des deux autres.


J'ai essayé d'utiliser les fonctions symétriques des racines :

en notant les racines de P,







, mais ça m'a donné des calculs inextricables sur lesquels je n'aboutis pas, et même en réécrivant ces fonctions de manière plus simple (en posant par exemple, et ), je bloque.

Je n'arrive pas du tout par le calcul, et je me demande si c'est même faisable de cette manière.
Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Doraki]

C'est juste du calcul

P''' divise P'
<=> machin est racine de P'
<=> truc (a,b,c,d) = 0
<=> bidule (x1,x2,x3,x4) = 0
<=?=> (x1+x2-x3-x4)(x1-x2-x3+x4)(x1-x2+x3-x4) = 0
<=> la somme de 2 des racines vaut la somme des 2 autres

Vérifier le <=?=> c'est juste développer tout et vérifier que l'un est un multiple de l'autre.

Contrairement à son apparence, (x1+x2-x3-x4)(x1-x2-x3+x4)(x1-x2+x3-x4) est invariant par toutes les permutations des racines (si on en échange 2 il y a deux facteurs qui changent de signe donc au final le produit est bien invariant), donc il correspond bien à un polynôme en les coefficients a,b,c,d.
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Sinon (sans calcul, mais high-level), clairement la condition "il y a 2 racines dont la somme vaut la somme des 2 autres" est une condition qui est invariante par translation du polynôme, donc cette condition doit correspondre à une relation entre P(x),P'(x), et P''(x) où x est l'unique racine de P'''(x) (ces 3 invariants engendrent l'algèbre des polynômes en les coefficients qui sont invariants par translations du polynôme de départ)
comme x est de degré 1 en les racines, P(x),P'(x), et P''(x) sont de degré 4,3,2 (en les racines) respectivement.
Puisqu'on cherche une relation homogène de degré 3 en les racines, il ne peut s'agir que de P'(x) = 0.
Du coup je pourrai dormir cette nuit.

[jonses]

Ok merci !

Je m'en doutais un peu, mais j'avais un peu d'espoir quand même : pour mon niveau je dois me contenter de calculs ( inextricables pour moi...)

[Ben314]

Salut,
Je sais pas si c'est beaucoup plus simple, mais en utilisant le fait qu'un polynôme unitaire de degré 2 s'écrit où est la somme des racines et le produit, on peut écrire, pour que :











Or, l'unique racine de est donc divise ssi , c'est à dire soit encore