Montrer qu'un polynome admet des racines simples

[Anonyme]

Bonjour, j'ai une question qui me trotte l'esprit

Comment prouve-t-on que 1+X+X^n n'admet que des racines simples ?

Faut-il écrire X^n sur une autre forme ?
Ou essayer dans le cas n=1,n=2,etc...

Je n'ai aucune idée sur la démonstration à utiliser.

Merci de votre aide

[RadarX]

Bonjour
Pour les cas n = 2 et n=3, il suffit de faire une resolution classique du niveau 2nde ou 1ere.
Par ailleurs on peut generaliser par recurrence en utilisant la theorie des polynomes (qui fait plus "Superieur").
En effet dans k[X] (k etant un corps) un polynome est irreductible ssi il est de degre 1.
Et comme 1 + X + X^n est de deg>1 alors il n'est pas irreductible ==> il s'ecrit P*Q ou P et Q de deg< n ==> P et Q ont tous deux des zeros (d'apres l'hypothese de recurrence), donc 1 + X + X^n aussi. Q.E.D.

RadarX

[sept-épées]

cher radar X,

passez R[X] aux rayons X, vous verrez que X^2+1 y est irréductible, et de degré 2...vous vouliez sans doute dire : "si k est algébriquement clos"...

je rappelle qu'une racine double est racine du polynôme dérivé...et que la question n'est pas de savoir si X^n+X+1 a des racines, mais si elles sont simples.

[RadarX]

oui 7-Glaives, je vois et avoue!
Peut etre un peu precipité mon exposé! il va falloir le revoir!
Le bon resultat sur les polynomes de k[X] est le suivant: "un polynome ayant une racine est irreductible ssi il est de degré 1".
Je pense que ca peut servir pour resoudre le probleme;

RX.

[sept-épées]

On montre facilement, avec un peu d'analyse, que 1+X+X^n et sa dérivée n'ont pas de racine commune dans R[X]. Pour généraliser aux autres corps, il me semble qu'il serait judicieux d'invoquer ce que vous savez du discriminant d'un polynome (résultant de P, P' ). Moi, j'ai tout oublié. Merci d'avance à ceux qui me rafraîchiront la mémoire.

[Galt]

On peut généraliser à un corps de caractérsitique 0 en appliquant l'algorithme d'Euclide à et à sa dérivée , on a , le reste est de degré 1 et évidemment premier avec les deux polynômes de départ, donc tout baigne.