Trouver les racines d'un polynôme

[Georges10]

Bonsoir à tous,
J'aimerais savoir comment montrer qu'un polynôme de la forme X^3 +pX + q admet 3 racines réelles distinctes ?

- Selon moi, on sait que tout polynôme de degré impaire admet au moins une racine réelle
-On peur également passer par l'inégalité des accroissements finis pour justifier l'existence d'une racine
Bon voilà un peu ce que je vois

Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Ben c'est on ne peut plus couillon : tu étudie simplement les différents tableaux de variations possible de la fonction .
donc si , la fonction est strictement croissante sur et ne s’annule qu'une fois.
Si , la fonction est croissante sur puis décroissante sur puis croissante sur donc P s'annulle trois fois ssi et c'est à dire en fait (mini calcul à faire) ssi (*)

(*) Et pas comme je l'avais écrit dans la première version.

[pascal16]

(1) q est aussi grand positif au négatif qu'on veut, il crée un décalage qui rend le résultat peu certain

(2) s'il admet 3 racine réelles, sa dérivée en admet 2 ?

[aviateur]

j'ai pas fait le calcul mais à mon avis c'est 4p^3+27 q^2 sinon avec p<0 l'expression aurait toujours le meêm signe.

[Georges10]

Merci je vois
Bonne soirée à vous

[Ben314]

Oui, je me suis gouré en faisant le calcul : je rectifie...

[Georges10]

Mais, est ce qu'il y'a des formules pour calculer la somme des racines ou la somme du produit des racines ?

Ou bien si quelqu'un a un pdf qui en parle, me transmettre me ferait du bien, je cherché sur Google mais les résultats concernent les polynômes de degré 2

Merci d'avance !

[aviateur]

Bonjour Y a rien de compliqué
Tu écris p(x)=(x-a)*(x-b)*(x-c) tu développes et tu va voir apparaitre la somme, le produit et puis ab+bc+ca.
Par contre "la somme du produit des racines" c'est quoi ce machin là?

[Georges10]

Par exemple si on a x^3 - 3x -1= 0
Montrer que l équation admet trois racines distinctes a, b, c
Montrer que a + b + c = 0 et a^2bc + ab^2c + abc^2 = 0

A travers le tableau de variation j'ai pu montrer l'existence des trois racines
Mais je veux des pistes pour résoudre les sommes.

Merci !

[LB2]

développe (x-a)(x-b)(x-c) et tu verras apparaître ces expressions symétriques en les racines a,b,c : c'est ce qu'on appelle les relations coefficients racines!

https://fr.wikipedia.org/wiki/Relations ... et_racines

[aviateur]

Mais je veux des pistes pour résoudre les sommes.

La piste je te l'ai donnée et LB2 le rappelle. Fais ce qu'on te dit, sinon tu veux la solution?

[LB2]

absolument, aviateur t'avais déjà donné l'indication

[Georges10]

Merci beaucoup,
Je m'en sors peu à peu

[pascal16]

Façon 1 de résoudre ça sans des équation de degré 3, et en utilisant des notions proches du TAF.
on a de la chance, le polynôme est réel à coefficients réels, on peut le confondre avec la fonction polynôme associée.

X^3 +pX + q admet 3 racines réelles distinctes ?

on connait la forme d'un polynôme de degré 3 et pour sa représentation graphique coupe 3 fois l'axe des abscisses, il faut qu'ai ait 2 extremums locaux, donc que sa dérivée s'annule 2 fois en des abscisses différentes.

soit f(x) = x^3 +px + q
f'(x)=3x²+p

on remarque que le fait que f' s'annule dépend beaucoup de la valeur de p et donc,
-> résol niveau bac

où est le TAF ?
TAF-Roll-TVI se démontrent en cascade à partir du TVI issu de la continuité.
et une fois qu'on a les 2 valeurs pour les quelles la dérivée s'annule, il faut encore que la fonction prenne des signes différents pour avoir les 3 racines demandées (TVI).

[pascal16]

Pour aviateur : Façon 2 de voir (sans image, imagilive est HS).

J'aimerais savoir comment montrer qu'un polynôme de la forme X^3 +pX + q admet 3 racines réelles distinctes ?

X^3 +pX + q : a une forme "⋂⋃" quand il a 3 racines réelles

si y1 et y2 sont les valeurs des deux extremums locaux

X^3 +pX + q +|y1]+|y2] n'a pas de racine

donc on a pas 3 racines pour toute valeur de q
donc X^3 +pX + q n'admet pas 3 racine réelles distinctes pour toute valeur de q.

[LB2]

Bonjour,

l'idée de pascal16 est rédigée par exemple dans l'exercice 148 du livre Calculus (Tosel) dont voici un énoncé succinct :

On s'intéresse au nombre de racines réelles de l'équation f(x)=0 avec f(x)=x^3+px+q, p et q étant deux réels.
Remarquons déjà que f est continue, de limite - l'infini en - l'infini et + l'infini en plus l'infini, donc admet au moins une racine réelle par TVI
a) Si , f est strictement croissante sur R, donc admet au plus une racine, donc exactement une racine.
b) Si p<0, f admet le tableau de variations suivant : Croissant / Décroissant / Croissant, avec les extrema locaux égaux à et
On calcule dont le signe indique si f(x_1) et f(x_2) sont de même signe ou de signe opposé
c) Si , ce qui impose p<0, alors il y a trois racines réelles distinctes
Si et , il y a une seule racine réelle
Si et , il y a une seule racine réelle
Si , soit et il y a une seule racine réelle (), soit et il y a exactement deux racines réelles

EDIT : Ben l'a déjà dit en fait... en un peu plus court

[pascal16]

Le but est bien de comprendre la démarche qui aboutie au résultat pour être capable de réutiliser la démarche (et pas le résultat) dans une situation inconnue.

Ainsi, un exercice type Capes est retrouvé dans un anneau (commutatif) une série de conditions nécessaires pour utiliser le calcul du delta dans la résolution d'une équation du second degré. On peut retrouver la notion de "racine de delta" comme dans C : la première venue fait l'affaire.

[aviateur]

Ainsi, un exercice type Capes est retrouvé dans un anneau (commutatif) une série de conditions nécessaires pour utiliser le calcul du delta dans la résolution d'une équation du second degré. On peut retrouver la notion de "racine de delta" comme dans C : la première venue fait l'affaire.

Qu'est que ça veut dire? Tu peux faire une explication de texte?

[pascal16]

Tu peux ouvrir une nouvelle discussion, on est loin du post initial.

[PS] : le premier post parlait du TAF, applicable sur la fonction polynôme, on avait un polynôme réel à coefficients réels, on pouvait confondre les deux.
Les solutions avec la factorisation ont l'avantage d'aller beaucoup plus loin dans la résolution via un polynôme formel qui est un cap à passer en prépa.