Dérivée nulle

[mehdi-128]

Bonsoir,

J'ai une fonction qui est continue et dont la dérivée est nulle sur . Je ne comprends pas pourquoi elle est constante sur .

La fonction est : où

On trouve n'étant pas dérivable en 0 car Arcos n'est pas dérivable en -1 et 1.

[guillaume100]

Bonsoir,

Ta fonction en 0 elle vaut 0 et en 1 elle vaut pi/4, elle est pas constante sur R+, mais sur R+* je crois

[aviateur]

Bonjour
Le problème c'est que f'(x) n'est pas nulle Something is missing

[mehdi-128]

n'est pas nulle.

[Black Jack]

Ce n'est pas clair.

g(x) = f(x) - arctan(x) avec f(x) = acos((1-x²)/(1+x²))

g'(x) = f'(x) - (arctan(x))'

g'(x) = [acos((1-x²)/(1+x²))]' - (arctan(x))'

g'(x) = 2x/(|x|(x²+1)) - 1/(x²+1)

si x < 0 --> g'(x) = -2/(x²+1) - 1/(x²+1) = -3/(x²+1)
Si x > 0 --> g'(x) = 2/(x²+1) - 1/(x²+1) = 1/x²+1)

--->
Si x < 0 , g(x) = -3.arctan(x) + K1
Si x > 0 , g(x) = arctan(x) + K2

Et on peut montrer que K1 = K2 = 0

-->
Si x < 0 , f(x) - arctan(x) = -3.arctan(x)
soit donc f(x) = -2.arctan(x)

Si x > 0 , f(x) - arctan(x) = arctan(x)
soit donc f(x) = 2.arctan(x)

*****************

Si tu veux que g soit nulle sur R+*, il y a une faute d'énoncé

L'énoncé devrait être : g(x) = f(x) - 2*arctan(x) avec f(x) = acos((1-x²)/(1+x²))

[aviateur]

C'est pas la peine d'insister @medhi sans faire de vérification. D'ailleurs f'(x)>0, pour tout x>0.

[mehdi-128]

Je remets le passage exact de mon livre.

Exercice :

Courbe représentative de :

Méthode utilisant la dérivée.

Etant donné que et , f est définie sur .

Elle est dérivable pour donc sur

Elle est paire, on peut en restreindre l'étude à

Pour on a :



Ainsi la fonction est continue sur et sa dérivée est nulle sur on en déduit qu'elle est constante sur

C'est ce passage que je comprends pas pourquoi elle est constante sur ?

La suite : comme elle est nulle en 0 on en déduit

Par parité on obtient :

[aviateur]

Et bien oui, il faut donner le bon énoncé!!!

La fonction est continue..

[mathelot]

Exercice :

Courbe représentative de :


Par parité on obtient :

? (il n'y a pas de racine dans la définition de la fonction f)

on a


pour , on pose




pour

[mehdi-128]

Bien vu Mathelot c'est une autre méthode sans passer par l'étude de fonction.

Oui pas de racine désolé

[mehdi-128]

Et bien oui, il faut donner le bon énoncé!!!

La fonction est continue..

Je n'ai pas compris

Quel théorème utilisez vous ?

[aviateur]

Et bien oui, il faut donner le bon énoncé!!!

La fonction est continue..

Je n'ai pas compris

Quel théorème utilisez vous ?

Tu as une fonction continue sur R de dérivée nulle pour x>0, tu ne vois pas pourquoi elle est constante sur R^+!!!! c'est ta question.

[mehdi-128]

Je comprends pourquoi elle est constante sur R^+* mais je comprends pas pourquoi elle est constante sur R^+

[aviateur]

Mais ta fonction est continue!!!!

[mehdi-128]

Et ? Je ne connais pas de théorème qui dit que si la fonction a une dérivée nulle sur l'intervalle ouvert, elle est constante sur l'intervalle fermé.

[Lostounet]

Et ? Je ne connais pas de théorème qui dit que si la fonction a une dérivée nulle sur l'intervalle ouvert, elle est constante sur l'intervalle fermé.

Si f' est nulle sur ]a; b[ alors f est constante sur ]a;b[. Disons pour tout x dans ]a;b[ f(x) = C
Pour tout n, f(a +1/n) = C
Car a+1/n > a


Mais tu sais que f est continue sur [a;b] donc continue en a.

Er donc lim f(a+1/n) = f(a) car f continue en a.
Mais pour tout n tu as aussi f(a+1/n)= C

Donc f(a)= C aussi

[aviateur]

Et ? Je ne connais pas de théorème qui dit que si la fonction a une dérivée nulle sur l'intervalle ouvert, elle est constante sur l'intervalle fermé.

Bonjour
Mais il n'y a pas de vraiment de théorème (je ne comprends pas cette remarque).
C'est une simple conséquence sur la notion de continuité et de dérivabilité que tu as dû étudier avant d'aborder cet exercice.

[Sylviel]

Comme l'a montré Lostounet :
ta fonction est dérivable sur ]0,+oo[, de dérivée nulle
donc constante sur ]0,+oo[ (disons égale à C). Sa limite à droite en 0 est donc C.
Par continuité tu as la limite à droite qui vaut la valeur en 0, donc C = f(0).

[mehdi-128]

Ok merci SYlviel j'ai compris.

Par contre Lostounet j'ai pas capté votre démo avec les suites. Je dois pas avoir les connaissances pour la comprendre.