Fonction dérivable à dérivée nulle sur un ensemble dense

[DedenK]

Bonjour,

Je cherche à montrer qu'une fonction dérivable sur [a,b] dont la dérivée est nulle sur un sous-ensemble dense de [a,b] est constante (en d'autres termes, que sa dérivée est nulle sur [a,b] tout entier). La démonstration est évidente si la dérivée est continue, mais sinon, je sèche...
Aussi, je me disais que c'était peut-être impossible, et que peut-être qu'on peut trouver une telle fonction dont la dérivée ne soit pas nulle partout. Exemple : trouver une fonction de [0,1] dérivable sur [0,1] et dont la dérivée s'annule sur les rationnels sans pour autant que la fonction soit constante ? Ça me paraît impossible, mais on ne sait jamais.

Merci, DedenK.

PS : l'escalier du diable ne convient pas puisque la fonction n'est pas dérivable partout (bien que de dérivée nulle sur un sous-ensemble dense).

[DedenK]

Je crois que j'ai trouvé mon contre-exemple... la fonction "?" de Minkowski... :-)

[DedenK]

Pour ceux que ça intéressent : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,798417,798417,quote=1.

++, DedenK.

PS : c'était bien faux.