Dérivée successive nulle en tout point

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:

J'ai résolu aujourd'hui un exercice issu de mon TD de topologie, l'exercice est le suivant :

On considère telle que :


Montrer que f est un polynôme

.

La démonstration est une application indirecte du théorème de Baire.

Ma question est de savoir s'il existe à ce jour une preuve purement analytique de ce résultat? Déjà que la preuve topologique est assez lourde, j'ai peur qu'une preuve analytique le soit encore plus...

Merci!

[Nightmare]

Pas d'idées?

[leon1789]

Salut :)
tu as besoin de Baire pour dire que si f est définie sur R et f ' = 0 alors f est constante ?

[Nightmare]

Salut Leon1789 !

Je n'ai pas dit qu'il existait un n tel que la dérivée n-éme était nulle ! J'ai dit que pour un x donné, il existait une dérivée n-ème qui s'annulait en x, ce n'est pas pareil !

:happy3:

[leon1789]

Salut Leon1789 !

Je n'ai pas dit qu'il existait un n tel que la dérivée n-éme était nulle ! J'ai dit que pour un x donnée, il existait une dérivée n-ème qui s'annulait en x, ce n'est pas pareil !

:happy3:

ah oui... bon, je vais me recoucher... :marteau: j'deviens vieux...

[Nightmare]

J'avais fait la même erreur que toi en lisant l'énoncé pour la première fois :lol2: ça me paraissait trop simple aussi :lol3:

[Nightmare]

Bon j'abandonne mes recherches, je suis en terrain glissant de toute façon.

Si certains sont intéressés par la preuves topologiques je pourrai la poster (ce qui me permettra qui plus est d'en vérifier la justesse)

[ThSQ]

Pour t'occuper il y a une généralisation :



telle que pour tout x il existe n entiers tels que

[Nightmare]

Oui ce doit être le même type de preuve, peut être en considérant la différentielle.

[ffpower]

Pour t'occuper il y a une généralisation :



telle que pour tout x il existe n entiers tels que

je vois pas l interet a ce que l espace d arrivée soit R^n lol,suffit de regarder les composantes pour se ramener a R

Oui ce doit être le même type de preuve, peut être en considérant la différentielle.

risque d y avoir un petit prob pour utiliser rolle(a moins que tu ne t en serve pas dans ta methode)

[Nightmare]

Pas de Rolle dans ma méthode. Cette dernière consiste à considérer l'ensemble des réels x tels que ma fonction est polynômiale au voisinage de x. Je montre que c'est l'espace tout entier en montrant par l'absurde que son complémentaire est non vide. On applique Baire à un ensemble bien choisit et on aboutit à une contradiction.

[ffpower]

oui,c est aussi le plan de ma méthode.Une methode d ailleurs tres efficace de maniere générale(avec un pote on l a baptisé le "baire ou ca chie",ou "bérusashi" pour faire plus jap XD).Mais j utilise qd meme rolle a un moment donné.Bon bah je vais voir si je peux m en passer...

[SimonB]

oui,c est aussi le plan de ma méthode.Une methode d ailleurs tres efficace de maniere générale(avec un pote on l a baptisé le "baire ou ca chie",ou "bérusashi" pour faire plus jap XD).Mais j utilise qd meme rolle a un moment donné.Bon bah je vais voir si je peux m en passer...

Si vous ne le connaissiez pas déjà...

[Nightmare]

Jconnaissais pas ! Super SimonB merci :happy3:

[ffpower]

Tiens,voila 2 exos bairiques supplémentaires que je ne crois pas avoir vu sur le site:
1)Montrer que R^n n'est pas union dénombrable de fermés disjoints(union non triviale bien sur)
2)(dur).Soit I un intervalle ouvert de R et f une fonction C-infinie de I dans R.Soit r(x) le rayon de convergence de la série entiere .Montrer que si la fonction r est minorée par un réel strictement positif sur I,alors f est localement dse(=développable en série entiere) en tout point de I
En déduire qu une fonction C-infinie de R dans R est localement dse en tout point si et seulement si la fonction r(x) associée est continue et jamais nulle

[Nightmare]

1) Ca se généralise pour un espace métrique complet connexe quelconque même. La méthode consiste à considérer la réunion dénombrable des frontières des fermés et d'appliquer Baire.

Je réfléchis pour la 2)