Dérivée - limite

[Pseuda]

Bonjour,

Je me pose une question à propos des dérivées depuis pas mal de temps.

Soit f une fonction définie sur [0,[, dont on sait qu'elle est dérivable sur ]0,[.
Si lim f'(x) = a, limite finie, quand x-> 0+, peut-on dire que f est dérivable en 0 à droite et que f'(0)= a ? (cet amalgame me paraît souvent fait). Contre-exemple si cette affirmation est fausse ?

Il y a un exemple souvent donné de la contraposée de cette affirmation, pour la fonction : , prolongeable par continuité en 0, f est dérivable en 0 et f'(0)=0, mais lim f'(x) quand x->0 n'existe pas. (autrement dit, f est dérivable en 0, mais f' n'est pas continue en 0).

Autrement dit, peut-on toujours calculer lim f'(x) quand x->x0, en lieu et place de la dérivée (limite du rapport quand x->x0), et affirmer que si cette limite (lim f'(x)) existe, alors f est dérivable en x0 ? et que sa dérivée est lim f'(x) quand x->x0 ?

Merci d'avance.

[samoufar]

Bonjour,

Soit f une fonction définie sur [0,[, dont on sait qu'elle est dérivable sur ]0,[.
Si lim f'(x) = a, limite finie, quand x-> 0+, peut-on dire que f est dérivable en 0 à droite et que f'(0)= a ?

C'est l'énoncé (dans un cas particulier) du théorème de la limite de la dérivée, donc c'est vrai

Autrement dit, peut-on toujours calculer lim f'(x) quand x->x0, en lieu et place de la dérivée (limite du rapport quand x->x0), et affirmer que si cette limite (lim f'(x)) existe, alors f est dérivable en x0 ? et que sa dérivée est lim f'(x) quand x->x0 ?

Ce théorème est souvent utilisé lorsque la fonction dérivée est définie partout sauf en un seul point.

Je t'invite à regarder ce lien pour plus d'informations (notamment la démonstration du théorème) :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Dérivabilité#D.C3.A9rivabilit.C3.A9_et_prolongement

[Ben314]

Salut,
En fait, c'est un corollaire totalement immédiat du théorème des accroissements fini vu que, par exemple avec tes hypothèses, le T.A.F. te dit précisément que
Pour tout , il existe tel que .
Donc lorsque et, si admet une limite lorsque alors admet la même limite lorsque .

[Kolis]

Je m'étonne que personne ne pose la question : fonction vers quel ensemble ?

Ben314 utilise la formule des accroissements finis donc suppose que la fonction est à valeurs réelles.

En fait le résultat proposé par samoufar reste vrai dès que l'ensemble d'arrivée est complet. Je ne sais pas si on peut le démontrer quand ce n'est pas le cas !

[Pseuda]

Bonsoir,

Ah oui, bien sûr. J'étais passée à côté de ce théorème. Merci beaucoup. Il est très souvent utilisé sans (jamais) être cité.

J'avais supposé implicitement que la fonction est à valeurs réelles, mais bon.

[Ben314]

Si l'espace d'arrivé est un e.v.n. quelconque, il me semble pas que ça change quelque chose à la preuve vu qu'on raisonne par majoration et donc que l'inégalité des accroissement fini suffit (évidement, on l'applique à où qui est supposé exister)

Et perso, je sais pas si je donnerais le nom de "théorème" à un truc pareil : c'est vraiment une application totalement immédiate du T.A.F.

[Kolis]

Bonsoir !
Pour appliquer ta formule des accroissements finis (ou l'inégalité si tu prends un espace de dimension autre que 1) je crois qu'il faut supposer la fonction continue sur le segment (en tout cas en la borne considérée).
C'est pour établir la possibilité de prolonger par continuité la fonction en la borne en cause qu'on doit utiliser le critère de Cauchy.

[Ben314]

De toute façon, il me semble bien que si tu met pas dans les hypothèses que la fonction est continue au point où tu cherche à montrer qu'elle est dérivable, ben tu risque pas de démontrer grand chose, y compris dans R : pour appliquer le T.A.F. sur [a,b] il suffit certes que f soit dérivable sur ]a,b[ ouvert, mais il faut évidement qu'elle soit continue sur [a,b] fermé !!!

P.S. J'avais pas trop lu la fin :

C'est pour établir la possibilité de prolonger par continuité la fonction en la borne en cause qu'on doit utiliser le critère de Cauchy.

Effectivement, si la fonction n'est même pas définie en x0, c'est un autre problème et tu va avoir besoin d'argument style la complétude pour justifier de l'existence de la limite et pouvoir prolonger la fonction par continuité.

Mais ce n'est pas vraiment comme ça que j'avais compris la question de départ...

[Kolis]

Bonjour !
Citation :
Mais ce n'est pas vraiment comme ça que j'avais compris la question de départ...

C'est tout le problème de ces énoncés incomplets : on y ajoute ce qu'on souhaite (ou ce qui semble évident) et ce n'est pas toujours un bon service à rendre au poseur de questions.

[Pseuda]

Bonjour,

Pour info, j'ai oublié de préciser dans les hypothèses de ma question que : f est continue est [0,+[.

[Ben314]

C'est tout le problème de ces énoncés incomplets

Autant le fait que f soit supposée continue (en 0) était "omis" de l'énoncé et j'ai effectivement considéré que c'était dans les hypothèses, autant le fait qu'elle était définie en 0 était par contre bien présent dans l'énoncé de départ :
- Dans l'ensemble de définition de f donné : [0,+oo[ avec 0 inclus.
- Puis dans le "autrement dit" où il apparait du f(x0).