Dérivée n-ième avec exp, sh et ch

[kokorico06]

Bonsoir tout le monde,

j'ai un exo sur les cosinus hyperboliques et les derivées n-ième

On me demande de calculer la dérivée n-ième de la fonction f(x) = exp(x*sh(a))ch(x*sh(a))

Je ne sais pas du tout comment faire ! :(

[XENSECP]

Calcule déjà la dérivée première pour te donner une idée de la forme du truc ;)

Tu pourrais décomposé le ch aussi pour que ce soit + simple :)

[kokorico06]

En exprimant tout avec des exponentielles, j'obtiens à la fin
f(x) = 0.5 * (exp(x(exp(a) - exp(-a))) + 1)

Mais bon je ne vois toujours pas comment calculer la dérivée n-ième !

[kokorico06]

Oh oui je trouve un "truc" ^^ du genre dérivée n-ième de f = 0.5*(e(a) - e(-a))^n * e(x(e(a)-e(-a)))
Mais c'est juste en regardant la derivée première puis seconde que j'ai trouvé cette relation ... ce n'a pas été démontré ! Tu penses que ça suffirait dans une copie ? :)

[XENSECP]

Laisse sh(a) comme ça c'est juste une constante !!
Donc je te laisse réécrire f(x) :)

[kokorico06]

je trouve f(x) = ch((xsha)²)

C'est bien ça ?

La par contre je ne vois pas de dérivée n-ième alors qu'avec l'expression que j'avais tout à l'heure c'était mieux pour la voir ... Non ?

[XENSECP]

Hum f(x) sous forme d'une somme d'exponentielle j'ai dit...

[Anonyme]

@kokorico06
Pour info :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+exp%28x*sinh%28a%29%29cosh%28x*sinh%28a%29%29

[mathelot]

calculer la dérivée n-ième de la fonction f(x) = exp(x*sh(a))ch(x*sh(a))

il suffit de linéariser (transformer une expression en somme)

[kokorico06]

Je ne comprend pas comment on peut linéariser ....
Peux tu donner plus de détails ?

Merci