Dérivée d'un conjugué complex

[Fløw]

Bonjour,
Ceci est peut être une question bête mais le doute m'habite. . . .
J'ai une fonction à dérivé : z²\overline {z} par rapport à z.
J'ai pas trouvé comment écrire le conjugué de Z en TEX :p
donc pour moi on obtient :

La dérivée du conjugué par rapport à son conjugué donc par rapport à z(barre) par rapport à z est bien nulle ? Question bête je le conçois.... :marteau:

Deuxième partie de ma question : Étude du taux d'accroissement quand z=>zo de f(z) :

Donc

Êtes-vous d'accord avec cette limite ?
(Je pense que c'est juste étant donné qu'on retrouve la même résultat que ce que je proposais dans ma première formule...Serpent qui se mord la queue certes !!! :mur: :briques: :marteau:
Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Qu'est ce que tu apelle "dériver" ici ?
Si c'est la "dérivation complexe" des fonctions analytiques alors, non, la dérivée de n'est pas zéro vu que cette fonction... n'est pas dérivable (et la tienne non plus)

P.S. : conjugué en TeX = \overline{truc}

[Fløw]

Es-tu d'accord avec ma deuxième proposition ? (Merci pour le code TEX ) Ma fonction est forcément dérivable étant donné que le but de l'exercice est d'étudier la dérivabilité de f en 0 , puis plus généralement en ( compris dans ). Je crois comprendre que ce que tu veux dire, c'est que ma première expression ne peut pas s'écrire car elle n'a pas de sens, contrairement à la deuxième qui est plus "rigoureuse", même si on arrive globalement au même résultat...ai-je compris ? :hum:

[Ben314]

Non, je suis pas d'accord du fait que c'est et pas

Si tu n'est pas convaincu, calcule (pour réel), puis

[Fløw]

Tu as raison :/ erreur de ma part. Je recalcule...
Dans ce cas là j'obtient :
Mais une fois arrivé là , je ne vois pas comment je peux bidouiller ça pour arriver à un résultat exploitable :/

[Ben314]

Et la raison profonde est que tu peut "bidouiller" tant que tu veut, tu ne risque pas d'arriver à quelque chose vu... que la limite n'exite pas...

Vas tu (à force... :zen:) calculer la "dérivée directionelle" (qui s'appelle aussi la Différentielle de Gateaux du nom de Mr Gateaux : c'est pas des vannes...)
où est un complexe non nul fixé et un réel.
Tu constatera que, si , le résultat dépend de et ça prouve que...

Edit, sinon, le truc "tout droit sorti du cours", c'est de calculer les dérivées partielles des fonctions
P:(x,y)->Ré(f(x+iy)) et Q:(x,y)->Im(f(x+iy))
puis de sortir de ta poche les fameuses "conditions de Cauchy".
Ben tu me croit si tu veux, mais les "conditions de Cauchy", pour ta fonction, elles sont vérifiées nulle part (sauf au point (0,0)) :mur:

[Fløw]

J'ai repris le truc, et avec les conditions de Cauchy, justement j'avais retrouvé quand je l'avais fais il y a bien longtemps (je reprends les vieux exos pour révisions on va dire :p) que on avait pour seul condition de dérivabilité :
(1) y² = x²
(2) x = - y
Donc ça rejoint ce que tu disais je suppose. . .

Merci du coup de main, j'ai compris la logique de l'exercice grâce à ce que tu m'a dis...j'vais jeter un oeil à ce gâteau :D . Je connaissais un principe disait que si on trouvait que la limite dépendait de l'argument, alors elle n'était pas dérivable ou je ne sais quoi...c'est le même principe ?
Désolé du dérangement, et merci :)

[Ben314]

Oui, c'est bien ça le principe.
En fait, tout ce qu'on utilise, c'est la "règle de composition" pour les limites :
Si F:C->C est telle que F(z)->L lorsque z->zo et que phi:R->C est telle que phi(t)->zo lorsque t->to alors forcément F(phi(t))->L lorsque t->to.
Donc, si tu trouve deux fonction phi1 et phi2 telles que phi1 et phi2 tendent vers zo lorsque t->to mais que F(phi1(t)) et F(phi2(t)) ne tendent pas vers la même chose lorsque t->to, ça prouve que F n'admet pas de limite lorsque z->zo.

C'est le même principe que dans R où, si une fonction admet une limite à droite et une limite à gauche en un même point et que ces limites sont distinctes, alors ça prouve qu'il n'y a pas de limite en ce point.