Dérivée de arctan.

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lazare
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Dérivée de arctan.

par lazare » 27 Sep 2021, 20:26

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Comment trouve t-on cela?
J'ai un niveau lycée. Je pose des questions sur les maths par intérêt non-professionnel. Si vous utilisez des termes du supérieur dans vos réponses. Pouvez vous me les définir svp? Merci à vous.



catamat
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Re: Dérivée de arctan.

par catamat » 27 Sep 2021, 20:43

Bonjour


Black Jack
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Re: Dérivée de arctan.

par Black Jack » 27 Sep 2021, 21:29

Bonjour,

Une possibilité (parmi d'autres)

Soit g(x) = arctan(x) (pour g(x) dans ]-Pi/2 ; Pi/2[)

---> tan(g(x)) = x
On dérive : (tan(g(x)))' = (x)'
g'(x)/cos²(g(x)) = 1
g'(x) = cos²(g(x)) (1)
***
sin²(g(x)) + cos²(g(x)) = 1
et comme cos(g(x)) différent de 0 sur ]-Pi/2 ; Pi/2[, on peut diviser les 2 membres par cos²(g(x))

--> tan²(g(x)) + 1 = 1/cos²(g(x)) (2)

mais on a tan(g(x)) = x et donc (2) ---> x² + 1 = 1/cos²(g(x))

cos²(g(x)) = 1/(x²+1)

et ceci remis dans (1) --->

g'(x) = 1/(1+x²)

8-)

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mathelot
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Re: Dérivée de arctan.

par mathelot » 27 Sep 2021, 22:45

Bonsoir,
on a

pour calculer la dérivée de la fonction tangente , on utilise la formule:


d'où


pour x réel:


en dérivant:


soit



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lazare
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Re: Dérivée de arctan.

par lazare » 01 Oct 2021, 09:38

Black Jack a écrit:On dérive : (tan(g(x)))' = (x)'
g'(x)/cos²(g(x)) = 1


C'est en référence à quelle identité remarquable?

mathelot a écrit:pour x réel:


en dérivant:



C'est en référence à quelle identité remarquable?
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lazare
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Re: Dérivée de arctan.

par lazare » 01 Oct 2021, 09:53

catamat a écrit:Bonjour



Je vois pas.
J'ai un niveau lycée. Je pose des questions sur les maths par intérêt non-professionnel. Si vous utilisez des termes du supérieur dans vos réponses. Pouvez vous me les définir svp? Merci à vous.

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mathelot
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Re: Dérivée de arctan.

par mathelot » 01 Oct 2021, 12:01

lazare a écrit:
mathelot a écrit:pour x réel:


en dérivant:



C'est en référence à quelle identité remarquable?


C'est l'application de la formule de la dérivée d'une composée de deux fonctions dérivables

catamat
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Re: Dérivée de arctan.

par catamat » 01 Oct 2021, 14:52

lazare a écrit:

Je vois pas.


Soit f=tan bijective de ]-pi/2;pi/2[ sur R sa fonction réciproque est arctan définie de R sur ]-pi/2;pi/2[

On a donc pour tout réel x

De plus f'=1+tan² (démontré plus haut)





Nb: Cette formule peut servir pour bien d'autres fonctions, elle est à connaître.

Black Jack
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Re: Dérivée de arctan.

par Black Jack » 01 Oct 2021, 15:37

lazare a écrit:
Black Jack a écrit:On dérive : (tan(g(x)))' = (x)'
g'(x)/cos²(g(x)) = 1


C'est en référence à quelle identité remarquable?

mathelot a écrit:pour x réel:


en dérivant:



C'est en référence à quelle identité remarquable?


Pour la 1ère :
la dérivée de tan(x) est 1/cos²(x)
la dérivée de tan(g(x) ) est 1/cos²(g(x)) * g'(x)

et la dérivée de x est 1

donc en dérivant ... on trouve : 1/cos²(g(x)) * g'(x) = 1
soit g'(x)/cos²(g(x)) = 1

**************************
Pour la 2ème :

La dérivée de f(x) = tan(x) est f'(x) = 1/cos²(x) = 1 + tan²(x)

La dérivée de f(u(x)) = tan(u(x)) est (1 + tan²(u(x)) * u'(x)

et avec u(x) = arctan(x), on a donc la dérivée = (1 + tan²(arctan(x)) * [arctan(x)]'

8-)

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lazare
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Re: Dérivée de arctan.

par lazare » 02 Oct 2021, 02:50

mathelot a écrit:C'est l'application de la formule de la dérivée d'une composée de deux fonctions dérivables


La dérivée de u(v) ?

Je la trouve pas sur internet.
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Black Jack
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Re: Dérivée de arctan.

par Black Jack » 02 Oct 2021, 10:01

lazare a écrit:
mathelot a écrit:C'est l'application de la formule de la dérivée d'une composée de deux fonctions dérivables


La dérivée de u(v) ?

Je la trouve pas sur internet.


Bonjour,

C'est élémentaire et niveau du secondaire.

Soit u et v 2 fonctions de x et dérivables.
f(x) = u(v(x))
f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)
*****
exemple :

v(x) = tan(x) et u(x) = 3x²
f(x) = u(v(x))
f(x) = 3*tan²(x)

v'(x) = 1/cos²(x)
u'(x) = 6x
u'(v(x)) = 6.tan(x)

f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)
f'(x) = 6.tan(x)/cos²(x)
f'(x) = 6.sin(x)/cos³(x)

8-)

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lazare
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Re: Dérivée de arctan.

par lazare » 14 Oct 2021, 09:26

C'est bon, j'ai compris la démonstration. Merci à vous.
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