Dérivation et suite

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un exercice traitant à la fois de la dérivation des fonctions réelles et des suites, mais je suis totalement bloqué sur une question, si quelqu'un peut m'indiquer une petite piste svp:

Soit une fonction de classe sur un intervalle I de R.
On suppose que I est stable par f.
Soit une suite définie par : et
Soit a dans I tel que f(a)=a

On suppose que et que n'est pas stationnaire sur a, je dois montrer que ne converge pas vers a.


J'ai essayé par l'absurde (et honnêtement je ne vois pas d'autre moyen), mais alors pour aboutir sur la contradiction....
Je pensais essayer d'aboutir sur , mais j'ai vraiment du mal et je vois pas trop comment faire (j'ai essayé d'utiliser la définition de dérivée en un point, mais ça me donne rien)


Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[jlb]

par l'absurde (Un) pas stationnaire sur a Un diff de a pour tout n, tu peux considérer (f(un)-f(a))/(un -a) et comme un tend vers a cela te donne |un+1-a|/|un-a|>=(f'(a)+1)/2 pour n assez grand et cela doit te permettre d'obtenir une contradiction.

mais bon, c'est à vérifier!! [ tu as consulté le pdf pour ton post précédent, tu auras toutes tes réponses et bcp +, je crois!!]

[Ben314]

Bonsoir.
Une des multiple piste à suivre pour aboutir au résultat est la suivante :
- On considère un réel k strictement entre 1 et |f'(a)|. Comme f est C^1, il existe un petit intervalle ouvert J autours de a tel que |f'(x)|>=k pour tout x dans J.
- Si effectivement la suit Un tend vers a alors, à partir d'un certain rang, tout les termes de la suite sont dans J.
- Or, si tu utilise le T.A.F. tu peut montrer que, si Un et U(n+1) sont dans J alors |U(n+1)-a| >= k |Un-a| ce qui conduit à... une contradiction (vu que k>1)...

[jonses]

Bonsoir.
Une des multiple piste à suivre pour aboutir au résultat est la suivante :
- On considère un réel k strictement entre 1 et |f'(a)|. Comme f est C^1, il existe un petit intervalle ouvert J autours de a tel que |f'(x)|>=k pour tout x dans J.
- Si effectivement la suit Un tend vers a alors, à partir d'un certain rang, tout les termes de la suite sont dans J.
- Or, si tu utilise le T.A.F. tu peut montrer que, si Un et U(n+1) sont dans J alors |U(n+1)-a| >= k |Un-a| ce qui conduit à... une contradiction (vu que k>1)...

ce qui conduit à

donc à

Puis... "anciennement ici : une horreur !!! Ah diable !"

[Ben314]

Ca déconne vu que tu as f(U(n-1)) en haut et U(n+1) en bas.

Sinon, partant de tu déduit (par récurrence) que or, comme , tend vers l'infini et ça contredit le fait que tend vers a (on ne peut pas avoir sinon la suite serait stationnaire à partir de N)

[jonses]

Je vais effacé tout de suite l'horreur que j'ai écrite