Densité

par **benjilbos** » 05 Jan 2012, 21:53

1)soient a et b deux réels non nuls tq a/b irrationnel, montrer que aZ+bZ est dense dans R.
2)montrer que {sin(n) ; n appartient à Z} est dense dans [-1,1]
merci.

par **Le_chat** » 05 Jan 2012, 21:57

Salut. Tu peux montrer que aZ+bZ est un sous groupe additif de R, et qu'il n'est pas de la forme uZ.

Pour 2) Tu peux dire que {sin(n)}={sin(n+2pi*k), n et k dans Z}=sin(Z+2piZ).

par **benjilbos** » 05 Jan 2012, 22:15

pour 1) en quoi aZ+bZ sous groupe de R montre qu'il est dense?

Pour 2) si (Z+2piZ) dense alors sin(Z+2piZ) aussi?pourquoi?

par **Matt_01** » 06 Jan 2012, 01:16

1) Tu peux montrer qu'un sous groupe additif de R est soit monogène (engendré par un élément donc de la forme uZ) soit dense dans R.

2) Rien que par utilisation séquentielle ca se voit ;)

par **Le_chat** » 06 Jan 2012, 18:08

benjilbos a écrit:
Pour 2) si (Z+2piZ) dense alors sin(Z+2piZ) aussi?pourquoi?

Parce que sinus est continue.

par **benjilbos** » 08 Jan 2012, 00:13

2) Rien que par utilisation séquentielle ca se voit

[/quote]

Il faut utiliser la carac sequentielle de la densité parce que je bloque là?

par **Matt_01** » 08 Jan 2012, 02:36

Oui oui, comme ca ca marche ;)

par **Le_chat** » 08 Jan 2012, 16:14

Par exemple: tu prends x dans [-1,1]. Comme sinus est une surjection de R->[-1,1], il existe y dans R tel que sin(y)=x.

Comme Z+2piZ est dense dans R, il existe une suite (yn) de Z+2piZ qui tende vers y. Par continuité de sinus, la suite (sin(yn)) tend vers sin(y)=x.

Il ne te reste plus qu'à conclure.

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