Densité des polynômes D --> D dans H(D,D)

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linkereover
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Densité des polynômes D --> D dans H(D,D)

par linkereover » 16 Jan 2022, 20:24

Bonjour,

On note le disque unité ouvert dans , les fonctions holomorphes et les fonctions polynomiales .

Je cherche à montrer que est dense dans pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.

Pour cela, on sait que si . En d'autres termes, si l'on pose , converge vers uniformément sur tout compact de .

J'ai donc tenté de poser , où, étant donnée , désigne "abusivement" la quantité (ce sup existe car sur ).

J'essaie ensuite de montrer que tend vers uniformément sur tout compact :

Soit un compact de et soit la norme "sup" sur .
.
On sait que quand .
Mais pour le second terme, j'ai un peu plus de mal à justifier la convergence vers 0, que je vois pourtant intuitivement...

On a
Ensuite, intuitivement, j'ai envie de dire que quand , mais je ne vois pas comment le justifier...

Voici ce que j'ai pour le moment :

Soit .
Par définition de la borne supérieure, il existe tel que .
Comme , il existe tel que, pour tout ,

ce qui implique


Il faut ensuite montrer "l'autre sens", à savoir que pour assez grand, on a aussi .

Et là, je suis bloqué...

Quelqu'un voit-il comment finir la preuve ?
Modifié en dernier par linkereover le 22 Jan 2022, 18:28, modifié 1 fois.



triz
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Re: Densité des polynômes D --> D dans H(D,D)

par triz » 22 Jan 2022, 04:43

Bonsoir,

Il me semble qu'il y a une erreur au tout début de la démo, ce n'est pas parce que f est holomorphe qu'elle est développable en série de taylor (elle n'est dérivable qu'une seule fois). je te conseille aussi de regarder la définition séquentielle de la densité, car si f était développable en série de taylor tu pourrais finir ta démonstration juste après avoir justifié que Pn converge uniformément vers f.

Ceci dit je ne comprends pas bien le reste si ca se trouve je n'ai pas bien compris ton énoncé.

tournesol
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Re: Densité des polynômes D --> D dans H(D,D)

par tournesol » 22 Jan 2022, 10:22

Il me semble qu'une fonction complexe dérivable une fois est dérivable une infinité de fois .
Il me semble aussi qu'une fonction est holomorphe ssi elle est analytique , ie localement développable en série entière .

GaBuZoMeu
Habitué(e)
Messages: 5231
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Re: Densité des polynômes D --> D dans H(D,D)

par GaBuZoMeu » 22 Jan 2022, 11:03

Bonjour,

Bien sûr que est développable en somme d'une série entière convergeant uniforméméent sur tout compact du disque unité. On a donc bien une suite de polynômes qui converge uniformément vers sur tout compact de . Le seul problème, que linkereover a bien vu il me semble est de ramener ses polynômes à envoyer dans .
Pour cela on doit se servir du fait que envoie dans .

linkereover
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Re: Densité des polynômes D --> D dans H(D,D)

par linkereover » 22 Jan 2022, 18:35

Bonjour,
En fait, le problème qui m'empêche surtout de conclure est le suivant : étant donnée la suite de polynômes convergeant uniformément vers sur tout compact de obtenue en grâce au développement en série en entière de , comment montrer que ? (où pour )
Si l'on a ce résultat, on peut conclure.
Voyez-vous comment montrer cette convergence ? Si non, voyez-vous une autre méthode permettant de se ramener à des polynômes ?

triz
Messages: 4
Enregistré le: 22 Jan 2022, 03:42

Re: Densité des polynômes D --> D dans H(D,D)

par triz » 24 Jan 2022, 04:48

En utilisant l'inégalité triangulaire/ continuité de la norme comme argument peut être ...

 

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