Densité des fonctions continues à support compact dans L^p

[lisitsa]

Bonjour,
J'aimerais montrer que, pour , l'ensemble des fonctions continues à supports compacts est dense dans .

Pour cela, dans les notes de cours que j'ai à disposition, on commence par montrer que l'ensemble des fonctions étagées -intégrables est dense dans (ok)
(Une fonction étagée étant une fonction de la forme , cette fonction étant -intégrable ssi ).

Ensuite, on montre que toute fonction de la forme peut être approchée dans par des fonctions continues à support compact (ok).

Ensuite, on cherche à montrer que pour tout borélien de mesure de Lebesgue finie, peut être approchée dans par des fonctions continues à support compact.
Et c'est là que je bloque un peu.
En effet, il est écrit qu'il suffit de remarquer que tout borélien de mesure de Lebesgue finie s'écrit comme réunion au plus dénombrable d'intervalles ouverts et de singletons .
Déjà, ça, ce n'est pas très clair pour moi...
Je sais que la tribu des boréliens est engendrée par les intervalles ouverts (j'imagine que ça doit donc venir de là), mais je ne vois pas trop comment l'expliquer rigoureusement...
En "admettant" ce point, j'ai donc commencé à écrire :

Comme les singletons sont de mesure de Lebesgue nulle, il suffit de montrer que peut être approchée par des fonctions continues à support compact dans .
Soit .
Pour tout , il existe continue à support compact telle que .
J'ai ensuite envie de poser et d'utiliser l'inégalité triangulaire pour conclure que , mais... rien ne prouve à ce stade que est continue (somme dénombrable de fonctions continues = continue ???), et encore moins à support compact...

Ensuite, à supposer que ce point soit démontré ( pour tout borélien de mesure de Lebesgue finie, peut être approchée dans par des fonctions continues à support compact), je vois comment conclure car toute fonction étagée est combinaison linéaire FINIE de telles indicatrices (donc pas de problème de sommes infinies dénombrables à traiter...).
Mais sur ce point, je bloque vraiment...

Si quelqu'un pouvait m'aider à avancer, je serais top

Merci d'avance !

[Skullkid]

Bonjour, en effet on n'a pas en général qu'une somme dénombrable de fonctions continue est continue. Mais ici tu peux imposer à tes fonctions d'avoir des supports deux-à-deux disjoints, ce qui entraîne que h est effectivement une somme finie (et même mieux : la somme qui définit h(x) contient au plus un terme non nul).