Fonction holomorphe à support compact

[marawita1]

Bonsoir,

J'ai trouvé dans un ancien examen la question suivante:

Déterminer, par cinq méthodes différentes, toutes les fonctions entières (holomorphes sur tout le plan complexe à support compact?

On dit que est à support compact s'il existe un compact K de telle que sur .

Ma réponse est: La seule fonction entière à support compact est la fonction nulle.

J'ai trouvé trois méthodes qui sont:

1- Le principe de maximum
2- Le principe des zéros isolés
3- Le théorème de Liouville

Pouvez vous, s'il vous plait, me donner deux autres différentes méthodes?

Merci beaucoup d'avance et bonne année 2022.

[mathelot]

bonjour,
le développement en série entière
la représentation intégrale de Cauchy
??

[marawita1]

@mathelot, Pouvez vous, s'il vous plait, mieux me détailler votre réponse ? parce que je ne vois pas comment utiliser ces deux méthodes pour trouver le résultat!!

[marawita1]

Bonjour,

Pour tout , on a avec

pour tout

avec est le cercle de centre 0 et de rayon r.

En particulier pour , on a , donc

. Par suite, lorsque , on obtient
. D’où . Par continuité de , on obtient . Par conséquent , .

Que pensez vous?

[tournesol]

et si ton cercle est à l'extérieur de K , qu'en penses tu ?

[marawita1]

@tournesol, Franchement je ne sais pas!!

Peut être la formule (donnée par l'intégrale sur le cercle ) de n'est pas correcte!

[tournesol]

Ta fonction est nulle hors de K .
Ton cercle est hors de K .
Donc ta fonction est nulle sur le cercle .
Donc ton intégrale est nulle .
Donc chaque an est nul y compris pour n=0 .

[marawita1]

Merci bien tournesol.

Si j'ai bien compris, je commence ma réponse comme j'ai rédigé dans l'avant dernier message. Après il faut discuter si le cercle est à l'intérieur de K ou à l’extérieur. Non?

Concernant l'autre méthode (représentation intégrale de Cauchy) , avez vous une piste s'il vous plait?

[tournesol]

Tu ne discutes pas . Tu choisis volontairement un cercle situé en dehors de K et c'est possible puisqu'un compact est borné .
Tu fais ensuite le même choix avec la formule intégrale de Cauchy .

[marawita1]

Très bien. Merci beaucoup tournesol .