Dénombrement

[joridder]

Bonjour!

Pourriez vous m'aider sur l'exo suivant:
établir la relation: somme de p=0 à n des (p parmi n)^2 = combinaison des n parmi 2n

astuce: développer de 2 manières (1+t)^2n


Merci davance!

[fahr451]

en développant P(t) =(1+t)^2n par la formule du binôme le coefficient de t^n est ( n parmi 2n)

P(t) = (1+t)^n (1+t)^n on développe chaque terme par le binôme et on fait le produit le coeff de t^n est obtenu en multipliant un terme en t^k du premier polynôme par un terme en t^(n-k) et en faisant la somme sur tous les k possibles

le coeff de t^n vaut donc sigma (k= 0 , n) de (k parmi n) (n-k parmi n)
or (k parmi n) = (n-k parmi n) et le résultat

[joridder]

C noté :-)
Merci bcp!