Dénombrement : Qui est le bluffeur ?

[Quidam]

Pour l'instant, je reconnais juste le nombre de votes valables qui est (n-1)^n ...

Ben moi aussi :hum:

Et je me demande si on peut pas trouver une autre relation qui relie N_n et le nombre de cas d'égalité A_n ...

Pas moi ! J'en doute fort. C'est déjà mal mal d'en avoir une.

J'ai bien essayé de décomposer les nombres trouvés en produits de facteurs, mais ça ne me mène à rien !

J'ai tapé les premiers termes de la suite N_n ici

Ah, je vois que tu as changé d'avis sur N6 (1515 et pas 938) !

Excusez-moi si je dis trop de choses à la fois..

Mais non, mais non ! Ne t'excuses pas !

@+

[Bouchra]

J'ai tapé les premiers termes de la suite N_n ici

Ah, je vois que tu as changé d'avis sur N6 (1515 et pas 938) !

Pour N_6, je n'en étais pas sure du tout, je l'ai fait à la main moi :langue: .
J'ai fait confiance à ton programme, et je viens de vérifier ça fait bien 1515 .

Sinon rien de nouveau .. , je remarque juste que n-1 divise N_n, et je sais pas si c'est toujours vrai ni si ça peut mener à quelque chose .

[theorie]

hummm...

Je me suis ramené à une autre suite, je ne sais pas si il existe une solution + simple.

Pour n=2, k = 1
Pour n=3, k = 10
Pour n=4, k = 96
Pour n=5, k = 1 160
Pour n=6, k = 17 140
Pour n=7, k = 301 422
Pour n=8, k = 6 142 017
Pour n=9, k = 142 083 944

Si quelqu'un trouve une formule ou une suite, pour k, je serais surement en mesure de trouver une formule pour N_n et pour A_n

J'ai que:
N_n = k - (n-1)^n
A_n = (n+1)(n-1)^n - k*n

(je crois... j'espere ne pas m'etre trompé... :id:
et surtout que ça va servir à quelque chose...)
En tout cas, Bouchra, ta relation entre N_n et A_n tu l'as là, c'est ce fameux k

note: si N_n est divisible par (n-1), alors k est un multiple de (n-1)
et si c'est bien vrai, que k est un multiple de (n-1), alors normalement (n-1) devrait aussi diviser A_n, sinon c'est que ma formule est fausse, il faut vérifier ça.

[TitiRominet]

Salut,

interessant ton probleme, je crois que j'ai une piste, apparement un peu differente de la votre, mais vu mes connaissances en maths plus que limite, j'en mettrais pas ma main a couper, mais qui demande encore quelques calculs:
En fait ton probleme se rapporte aux coefficients resultants du developement d'un polynome de type
soit un nombre N de joueurs ni, i 1->N, N>=2 (le joueur 1 est n1, le joueur 2 n2 etc)
alors developpe le polynome:
produit(j=1 -> N,-nj + somme(i=1 -> N, ni))

tu a un polynome de type somme(Coeffi*n1^a*n2^b*n3*c etc) avec a+b+c....=N

alors somme(coefficients)=nombre de cas totaux (on a vu =(N-1)^N)
et somme(coefficient dont un des exposants est strictement superieur a tous les autres)=nombre de cas ou un joueur perd
et donc pour trouver la proba qu'un joueur en particulier perde il suffit de diviser par N le nombre de joueurs.

il ne reste plus qu'a trouver ce triangle de Pascal version balaise (pour moi), et comme les coeff sont exprimables en fonction de N, facile ensuite!!!

je l'ai developpe a la main pour N jusqu'a 4 ca marche impecc.
Ensuite ca commence a etre un peu long.

a toi!! :++:

[TitiRominet]

il serait peut etre plus simple de developper le polynome (somme(i=1 -> N, ni))^N mais il faut enlever certain coeff (genre ceux en puissance N) sinon ca veut dire que le joueur peut voter pour lui meme

[theorie]

TitiRominet, c'est domage que tu ne maitrises pas le langage qui permet d'ecrire des formules sur le furom (je crois que c'est le langage Latex). Ca aurait aidé pour te comprendre, parce que là j'ai un peu de mal.

[Bouchra]

Bonjour,

theorie : faudra le trouver ce k :lol2:

TitiRominet : Pas mal comme interprétation :id: .
Et en utilisant (n_1+n_2+...+n_N)^N, il faudra aussi enlever par ex n_1(n_1+n_2+...+n_N)^(N-1), c'est bien ça ?

Voici ce que je trouve (sauf erreur) :



avec :


exemple :




Et on a :

avec i=(i_1,i_2,...,i_N)

Mais la somme jusqu'à N-k m'embête un peu, ...
Et d'ailleurs identifier deux membres ave des indices i_1+i_2+...+i_N=N n'est pas évident pour moi ..

[TitiRominet]

Merci, content que ça ait l'air de t'intéresser comme approche.
Mais comme je dis, ça fait 10 ans que j'ai arreté les maths, je ne sais plus du tout developper ce genre de choses correctement. Alors je ne peux pas vraiment t'aider plus.
Au moins tu as bien compris de quel genre de polynômes je voulais parler :)

Je vais essayer de continuer à réfléchir en aprtant de tes belles formules.

[TitiRominet]

il y a peut-être une simplification possible, mais je ne sais pas trop comment l'exprimer correctement.
Si, et seulement si :we: , je comprends bien tes formules, si tu developpe, tu arrive au developement de type a^2b+a^2c+acb+ac^2+b^2a+abc+b^2c+bc^2 dans le cas où il y a 3 joueurs.
Tu peux rassembler:
(nombre de permutations possibles)*X^2*Y+(nombre de permutations possibles*X*Y*Z
donc une truc général du genre:
(permutations possibles)*X^(N-1)*Y
+(permutations possibles 1)*X^(N-2)*Y^2+(permutations possibles 2)*X^(N-2)*Y*Z (qui sont en fait le même genre de réponse, si N>3 alors joueur éliminé) donc [(permutation 1)+(permutation 2)]*X^(N-2)*(variable à la K.)^2
+(permutations possibles 1)*X^(N-3)*Y^3+(permutations possibles 2)*X^(N-3)*Y^2*Z + (permutations possibles 3)*X^(N-3)*Y*Z*V
[qui pourrait peut etre se simplifier par un truc du genre: [(permutation 1)+(permutation 2)+(permutation 3)]*X^(N-3)*(variable à la K.)^3

jusqu'à X^(N-N/2) [ça va donc dépendre si N pair ou impair...?)
ensuite pareil mais rjoute une variable:
(somme de spermut)*X^(N-N/2-1)*Y*(variable à la K.)^(N/2)

ouchh... en y repensant en écrivant, ça fait quand même un truc bien compliqué.
Je laisse quand même au cas où quelqu'un me comprend e tarrive à l'exprimer dans un langage mathématique normal :help:

[Bouchra]

il y a peut-être une simplification possible, mais je ne sais pas trop comment l'exprimer correctement.
Si, et seulement si :we: , je comprends bien tes formules, si tu developpe, tu arrive au developement de type a^2b+a^2c+acb+ac^2+b^2a+abc+b^2c+bc^2 dans le cas où il y a 3 joueurs.
Tu peux rassembler:
(nombre de permutations possibles)*X^2*Y+(nombre de permutations possibles*X*Y*Z
donc une truc général du genre:
(permutations possibles)*X^(N-1)*Y
+(permutations possibles 1)*X^(N-2)*Y^2+(permutations possibles 2)*X^(N-2)*Y*Z (qui sont en fait le même genre de réponse, si N>3 alors joueur éliminé) donc [(permutation 1)+(permutation 2)]*X^(N-2)*(variable à la K.)^2
+(permutations possibles 1)*X^(N-3)*Y^3+(permutations possibles 2)*X^(N-3)*Y^2*Z + (permutations possibles 3)*X^(N-3)*Y*Z*V
[qui pourrait peut etre se simplifier par un truc du genre: [(permutation 1)+(permutation 2)+(permutation 3)]*X^(N-3)*(variable à la K.)^3

...

Je comprends pas pourquoi le coef de X^(N-2)Y^2 = coef de X^(N-3)Y^3 ...

N=5 donne :

S*X^4*Y+S1*X^3*Y^2+S2*X^3*Y*Z+S3*X^2*Y^2*Z+S4*X^2*Y*Z*T+S5*X*Y*Z*T*V

S=20
S1=60
S2=180
S3=300
S4=420
S5=44