Dénombrement

[ludovic44]

Bonjour, je travaille sur un exercice de dénombrement. Je sais que ma réponse n'est pas correcte mais je n'arrive pas à trouver mon erreur... C'est un exercice autour de la machine Enigma.

Sur l'alphabet (A,B,....,W,X,Y,Z), soit 26 lettres, on choisit d'en permuter 12 à l'aide de 6 fiches.
Exemple: avec la fiche 1, on connecte l'entrée sur B et la sortie sur V, de sorte que B devient V (impossible de connecter une lettre à elle-même).

J'aimerais dénombrer le nombre de possibilité.

Voici ma démarche: je choisis 6 lettres parmi 26 (les 6 entrées) que je multiplie par le nombre de manière de choisir 6 lettres parmi les 20 restantes (pour les 6 sorties).
Donc, (je n'arrive pas à coder correctement, lire 6 parmi 26 multiplié par 6 parmi 20).

Je ne vois pas pourquoi cette façon de procéder est fausse.
Merci pour votre aide

[beagle]

…………………………….

[lyceen95]

Question, la première fiche associe B et V, par exemple.
Est-ce que la 2ème fiche peut associer B et C par exemple ?
Si c'est autorisé, alors tu vois que ta méthode n'est pas bonne.

On va donc considérer qu'une lettre ne peut être utilisée qu'une fois.
On peut donc calculer déjà de combien de façons on peut choisir 12 lettres parmi 26. Facile.
Ensuite, quand on a choisi 12 lettres, il faut calculer le nombre de façons de les associer en 6 couples.
Plus compliqué.

Revenons à la question :'pourquoi ton calcul est faux'
Prenons un processus proche: On choisit 2 lettres, mais l'ordre compte. Si on choisit B puis V, alors on supprime V, et on le remplace par B. On se retrouve donc avec 2 fois la lettre B dans la série de 26 lettres.

Dans ce cas, on doit avoir un dénombrement proche de ce que tu dis : Combien de façons de choisir les 6 lettres qu'on va doublonner, combien de façons de choisir les 6 lettres qu'on va supprimer.

Le tirage (B,V) ou le tirage (V,B) , c'est le même tirage en fait. Et tu les considères comme 2 tirages différents.

[ludovic44]

Bonjour, merci pour ta réponse.
En effet, une lettre ne peut être utilisée qu'une fois, manque de précision de ma part...

Choisir 6 couples avec 12 lettres... Je sèche.

Je me dis qu'il suffit donc de diviser mon calcul par 2^6 pour trouver le résultat du coup ?

[ludovic44]

Je tente donc de partir ainsi:

Je choisis d'abord 12 lettres parmi 26: une combinaison de 12 parmi 26 donc.
Reste ensuite à déterminer le nombre de manière pour former 6 couples avec 12 lettres.
J'ai pensé à cela mais je sais qu'il y a une erreur:
2 parmi 12 multiplié par 2 parmi 10 multiplié par 2 parmi 8 ..... multiplié par 2 parmi 2.

Je vois que cela ne marche pas sur un exemple plus petit. Par exemple, la manière de former 2 couples avec 4 lettres: a,b,c,d
Avec ma méthode, il y en aurait 6. En fait il y en a trois. Je comprends que prendre le premier couple conditionne le second mais n'arrive pas à généraliser avec davantage de lettres.

[lyceen95]

On choisit 12 lettres parmi les 26, ça, ça paraît une bonne base. donc possibilités pour commencer.

Quand on a choisi 12 lettres, on doit choisir les 2 lettres pour la première paire :

Puis on doit choisir les 2 lettres de la 2ème paire :
Etc , on arrive à
Mais, quand on compte comme ça, on a considéré que (ab)(cd)(ef)(gh)(ij)(kl) ou (cd)(ab)(ef)(gh)(ij)(kl), ce sont 2 solutions différentes.
Il faut donc diviser par 6!

On arrive à 11*9*7*5*3 ; c'est bien un nombre entier, bonne nouvelle

Et, il reste à remultiplier par le nombre de façons de choisir les 12 lettres parmi les 26.

[ludovic44]

Ok, je pense comprendre... Donc, il faut diviser par le nombre de permutations des pairs possibles...
Ce n'est pas encore hyper clair dans ma tête mais je vais encore y réfléchir. Merci en tout cas pour la réponse !