Dénombrement

[Hat]

Bonjour,
Je n'arrive à faire une question d'un problème, pouvez-vous m'aider SVP?

Le Père Noël doit distribuer n cadeaux deux à deux distincts à n enfants (avec n ∈ℕ∗). En supposant que le Père Noël dépose les paquets au hasard, on souhaite étudier le nombre de distributions qui font qu’aucun enfant n’obtienne son cadeau.
Modélisation possible : correspond donc au nombre de bijections f : [[1,n]] → [[1,n]] sans point fixe, i.e le nombre de permutations sans point fixe (dérangements) de l’ensemble à n éléments [[1,n]].

Question: A l’aide d’un raisonnement de dénombrement, prouver que, pour tout entier n ⩾ 1 :


Merci, pour votre aide.

[Ben314]

Salut,
On part d'un dérangement . On pose et .
- Si alors la restriction de à est un dérangement de .
- Si alors la fonction définie par et pour est un dérangement de .
Vérifie que le schmilblick est bien bijectif et déduit-en la relation demandée.