Dénombrement

[Ncdk]

Bonsoir,

Un petit truc m'échappe.

Soit E un ensemble à n éléments, on note E = {1,2,...,n} et F un ensemble à p éléments, on note F = {1,2,...p}

Je cherche le nombre d'applications de F dans E.

Donc j'ai prit un exemple bête, j'ai prit E={1,2,3} et F={1,2}

On a comme possibilités :
1->1
1->2
1->3
2->1
2->2
2->3
J'en compte 6 et apparemment, j'ai pu voir que théoriquement je dois trouver 3^2 possibilités, il me manque quoi ? ^^

[Robot]

Voila que tu te mets à mélanger addition et multiplication ? Vaudrait mieux que tu fasses dodo, sinon ça va être la surchauffe !
S'il y a 3 possibilités pour le choix de l'image de 1 et 3 possibilités pour le choix de l'image de 2, combien y a-t-il de possibilités pour définir une application ?
Si tu as 3 entrées et 3 plats principaux, combien de menus possibles ?

[Ncdk]

Non mais je suis d'accord, mais ce qui me chagrine c'est que je n'arrive pas à écrire toutes les possibilités, tous les choix possibles quoi, c'est plutôt ça qui me dérange, vu que j'ai pas l'idée, me suis dit que j'allais faire un exemple "bête" mais me manque un truc

[aymanemaysae]

Tout d'abord il faut demander à M. Robot la définition d'une application (il a très longuement expliqué cette notion l'autre jour dans une discussion avec l'un des visiteurs de ce forum), ensuite se demander si le cardinal de l'ensemble de départ peut-être strictement supérieur au cardinal de l'ensemble d'arrivée.

[Ncdk]

Je sais pas, étant donné qu'on parle de possibilités, je me suis dit qu'on construit une application de la manière suivante : Pour chaque élément de F on associe une image et UNE SEULE de E.

Je sais pas si c'est cela la définition.

Ensuite, concernant le cardinal de chaque ensemble, il est pas spécifié si l'un est plus grand que l'autre, le départ peut être plus grand que l'arrivé et inversement, enfin c'est que je me suis dit aussi.

[Robot]

Voyons, si tu as en entrée au choix : 1) oeuf mayonnaise, 2) hareng pommes à l'huile, 3) museau vinaigrette,
et en plat principal : 1) dos de cabillaud, 2) andouillette, 3) côtes d'agneau
tu ne pourrais pas faire la liste des neuf menus possibles ?
En quoi est-ce plus difficile pour une application de {1,2} dans {1,2,3} ?

[Ncdk]

Bah, pour les menus ça va, mais pour les applications j'ai bien :

1->1
1->2
1->3
2->1
2->2
2->3

Je vois pas où est l'erreur. On a 2 étapes à 3 choix possibles.
La seule chose qui pourrait me manquer à la limite c'est {1,2}-> 1 ...
Mais on aurait pu 2 étapes à 3 choix possibles...

[Robot]

Fais moi la liste des menus possibles, s'il te plait. Pour aller plus vite, tu pourras te contenter de mettre par exemple {(e,1),(p,3)} pour dire entrée n°1 (oeuf mayo) et plat n°3 (côtes d'agneau).

[Ncdk]

{(e,1),(p,1)}
{(e,1),(p,2)}
{(e,1),(p,3)}
{(e,2),(p,1)}
{(e,2),(p,2)}
{(e,2),(p,3)}
{(e,3),(p,1)}
{(e,3),(p,2)}
{(e,3),(p,3)}

[Ben314]

1->1
1->2
1->3
2->1
2->2
2->3

Le problème dans ce que tu écrit, c'est que :
- Soit on prend tes six lignes ensembles et ça ne fait pas du tout une application (vu qu'il y a de multiples fois f(1)=?)
- Soit on les prend une par une et ça ne fait pas non plus une application vu que la seule donnée de (par exemple) f(1)=1 ne suffit pas à définir une application (tu ne dit pas ce que vaut f(2)).

Bref, ta façon d'énumérer les solutions ne va pas.
Essaye de mettre sur une même ligne exactement ce qu'il faut pour définir une application et... ça ira mieux...

[Robot]

Bravo ! Tu as fait la liste de toutes les applications de {e,p} dans {1,2,3}
Tu peux bien sûr remplacer e par 1 et p par 2.
Une application f de E dans F, c'est rien d'autre que l'ensemble des couples (x,f(x)) où x parcourt E.

[Ncdk]

Hum...

D'accord, c'est bien la définition d'application qui n'allait pas chez moi, pourtant c'est pas comme si j'en voyais souvent

Merci pour vos réponses, je vais pouvoir passer a un peu plus compliqué

[aymanemaysae]

Je n'osais pas intervenir, mais comme vous y êtes arrivé, je poste mon message pour le plaisir d'écrire en MimeLatex.

Je pose E={1,2} et F={a,b,c} et les applications de E dans F sont :







Il y en a 9 applications c - à - d comme vous l'avez annoncé 3^2 : .

[Ncdk]

Si je peux expliquer la où je me faisais erreur c'est dans la caractère ensembliste de l'application.
Si on prenait deux ensembles, le premier que l'on note 1, le 2ème que l'on note 2, on peut mettre 3 éléments dans chaque ensemble et chaque élément de l'ensemble 1 peut être relié à 3 éléments de l'ensemble 2.
D'où le 3x3 donc 3^2.

Ce que je faisais moi c'est que j'avais bien deux ensembles mais je mettais 2 choix dans le premier.
Mais on m'a toujours dit qu'il y avait pas de questions bêtes, mais il peut y avoir des réponses idiotes

La c'était bien bête ! :'(

[alm]

Autre vision:
Une application de vers est parfaitement déterminée par un élément de
Précisément, l'application est une bijection.
Généralement si et un ensemble à éléments, alors est une bijection.
Comme , on a aussi : .

[Robot]

@ ncdk : Euh, là, je ne comprends rien à ce que tu racontes . Tu peux décoder ?

[Ben314]

Si je peux expliquer la où je me faisais erreur c'est dans la caractère ensembliste de l'application.
Si on prenait deux ensembles, le premier que l'on note 1, le 2ème que l'on note 2, on peut mettre 3 éléments dans chaque ensemble et chaque élément de l'ensemble 1 peut être relié à 3 éléments de l'ensemble 2.
D'où le 3x3 donc 3^2.

J'ai pas tout compris de ce que tu raconte là, mais ça me donne vaguement l'impression que tu pense que c'est tes flèches qui t'on induit en erreur pour trouver le nombre d'application (peut-être que je me trompe...)
Pour moi, LA erreur que tu as fait, c'est de penser que d'écrire truc->bidule ça définissait une application alors que, pour définir une application il faut un truc->bidule pour chaque truc de l'ensemble de départ (tu voie bien que si on te dit juste que 2->5, c'est pas tout à fait suffisant pour définir une fonction de R->R...)
Bref, si tu écrit :
1->1 ; 2->1 (toute la ligne définie une application)
1->1 ; 2->2
1->1 ; 2->3
1->2 ; 2->1
1->2 ; 2->2
etc où toutes les lignes sont de la forme 1->? ; 2->?
alors tu trouve bien le 3²=9 attendu

Aprés, c'est effectivement bien plus simple de faire comme le préconise alm çi dessus, c'est à dire de "résumer" 1->a ; 2->b par le couple (a,b) : c'est plus facile de ne pas se tromper en comptant les couples.

[Ncdk]

Je savais bien que j'avais mal expliqué.

En fait, dans ma tête, j'ai mal vu ce que c'était une application à l'aide des ensembles.

Par exemple, prenons l'application f : {e,p} -> {1,2,3} comme m'a montré Robot tout à l'heure.
En fait "e" et "p" ça peut être représenté par des ensembles qui comporte chacun l'élément "1", "2" et "3", l'application f permet de relier les éléments des ensembles.

Du coup, on trouve rapidement qui si on part de l'élément (e,1) qui veut dire ensemble "e", élément "1" on peut arriver à (p,1) , (p,2) ou (p,3) et on a nos 3 premiers couples.
On réitère l'opération en se plaçant à (e,2) et ainsi de suite.

Par ce procédé on peut voir rapidement qu'on a 2 étapes qui sont en fait le fait de passer par chaque ensemble, donc on passe par "e" et "p" puis à chaque étape on a 3 choix possibles, après on peut généraliser ça suivant le cardinal de chaque espace (départ et arrivé)

Je sais pas si c'est clair, mais j'ai vu l'explication comme ça en fait, enfin c'est pas d'ailleurs la définition d'une application au sens mathématique ? ^^

[Robot]

A toutes fins utiles : une application de l'ensemble dans l'ensemble , c'est un triplet où est une partie du produit cartésien telle que, pour tout dans , il existe un unique dans tel que . On note pour .

@ncdk : je ne comprends toujours pas ton histoire de e et p comme ensembles.
Dans l'exemple , , et ni ni ne sont des ensembles.

[Ben314]

@ncdk : je ne comprends toujours pas ton histoire de e et p comme ensembles...

Moi non plus...