Denombrement

[zork]

Bonsoir

Je dois compter le nombre de termes de la forme pour i différent de j de la somme:


Mais je ne comprend pas pourquoi la solution est 3n(n-1) termes. Comment trouve-t-on cela?


merci

[mathelot]

Bonsoir

Je dois compter le nombre de termes de la forme pour i différent de j de la somme:


Mais je ne comprend pas pourquoi la solution est 3n(n-1) termes. Comment trouve-t-on cela?


merci

où est l'erreur d'énoncé ?

[zork]

voilà j'ai corrigé

[danyL]

Bonsoir

Je dois compter le nombre de termes de la forme pour i différent de j de la somme:


Mais je ne comprend pas pourquoi la solution est 3n(n-1) termes. Comment trouve-t-on cela?


merci

bonsoir
je ne sais pas te répondre mais je crois qu'il manque encore une correction

si n=2
(x1 + x2)² = x1² + 2 x1 x2 + x2²
3n(n-1) = 6
-> c'est faux il n'y a pas 6 termes de la forme (xi xj)² , il n'y en a aucun

[zork]

oui c'est

[Skullkid]

Bonjour, le problème revient à compter les quadruplets (i,j,k,l) avec 2 fois 2 éléments égaux. Il y a n*(n-1)/2 choix possibles pour ces deux éléments dans |[1,n]| et 6 choix possibles pour les ranger dans un quadruplet.

[chombier]

oui c'est

Tu as essayé la technique bourrine ?







Il n'y a que les termes du dernier terme qui t'intéressent. Pas sur que ce soit la méthode la plus fine ni la plus rapide, mais je pense qu'il y a moyen d'arriver au but

[mathelot]

comment est formé le resultat ?
C'est une somme de polynomes de degré homogène 4
où l'on a pioché un facteur dans chaque somme.

Pour compter les carrés
on réserve aux indices, deux places pour y écrire les
il ya choix d'une paire d'indices et pour cette paire d'indices,
n choix possibles de les remplir
ensuite dans la paire restante, il y (n-1) possibilité de remplir les facteurs
de la seconde paire.

il y a donc termes de la forme
et nous multiplions par 2 pour l'inversion de i et j <----- en fait,
il faut diviser par 2, je ne vois pas pourquoi
termes de la forme

[wserdx]

En développant en produit de quatre sommes, tu obtiens un monôme pour chaque choix d'indice dans l'une des quatre sommes.
Tu veux choisir 2 indices (i et j) deux fois chacun. Il y a choix pour i (dans la première somme), quand i est choisi, il reste choix pour j. Ensuite il reste 3 choix de position:
i,i,j,j
i,j,i,j
i,j,j,i
Ce qui fait bien au total choix.

[wserdx]

En développant en produit de quatre sommes, tu obtiens un monôme pour chaque choix d'indice dans l'une des quatre sommes.
Tu veux choisir 2 indices (i et j) deux fois chacun. Il y a choix pour i (dans la première somme), quand i est choisi, il reste choix pour j. Ensuite il reste 3 choix de position:
i,i,j,j
i,j,i,j
i,j,j,i
Ce qui fait bien au total choix.

[mathelot]

regardons avec n=3 , coeff 1 4 6 4 1



la contribution en carrés de chaque terme de la somme ci dessus est


la formule demandée est donc vérifiée sur cet exemple

[mathelot]

pourriez vous m'expliquer pourquoi mon dénombrement est faux (en rouge )

[Skullkid]

pourriez vous m'expliquer pourquoi mon dénombrement est faux (en rouge )

Bonjour, une fois que tu as choisi la paire d'indices parmi les 6 possibles, il te reste à choisir deux éléments parmi n (soit n*(n-1)/2 choix possibles) pour les ranger dans ton quadruplet. Une autre manière de le voir est de considérer les n*(n-1) choix possibles d'un élément à mettre aux deux places choisies, puis d'un autre élément pour finir le quadruplet, puis de te rendre compte que tu as compté 2 fois chaque quadruplet. Par exemple, (5,5,6,6) est compté une fois en choisissant la paire d'indices {1,2} et les éléments 5, puis 6, et il est compté une seconde fois en choisissant la paire d'indices {3,4} et les élements 6, puis 5.

C'est lié au fait que est symétrique en i et j. La manière de compter n'aurait pas été exactement la même si on s'était intéressé au nombre de termes en .

[mathelot]

merci.j'ai compris

[zork]

merci à tout le monde

[mathelot]

la contribution en carrés de chaque terme de la somme ci dessus est


la formule à démontrée, est donc héréditaire.