Denombrement

[zork]

Bonjour

Soit l'ensemble des bijections de l'ensemble {1,2,3,4,5} dans lui-même
Je cherche à déterminer combien de 4 cycles possède
Je peux les chercher un par un mais j'aimerai avoir une manière d'en déterminer le nombre sans les chercher explicitement


merci

[zygomatique]

salut

qu'est-ce qu'un 4-cycles ?

[zork]

si je prend un 4 cycle (a,b,c,d je sais déjà que je ne prend pas en compte les cycles obtenus à partir de (a,b,c,d) par permutation circulaire. Autrement dit je ne compte pas les cycles de la forme:
(b,c,d,a),(c,d,a,b),(d,a,b,c)

mais c'est après que je bloque

[L.A.]

Bonsoir,

tu as une surjection de {1,...,5} x S_4 dans l'ensemble des 4-cycles de S_5, et la pré-image d'un élément est constituée de 4 éléments.

[zork]

voici ce que je propose
choix de 4 éléments parmi {1,2,3,4,5} ce qui donne
Après je dois déterminer le nombre de 4 cycles formé par ces éléments
a est fixe et du coup j'aurai 3! 4-cycles formés par les 4 éléments.
Mais je n'arrive pas à voir pourquoi 3!

[Ben314]

Parce que, l'écriture de ton 4-cycle (a,b,c,d) est unique à permutation circulaire des lettres prés donc le 3! tu peut soit dire :
- Que c'est 4! (= nombre de façon de "ranger" les 4 lettres) divisé par 4 (nombre de "rangements" donnant le même 4-cycle)
- Que c'est 3! vu que tout les 4 cycles de support {a,b,c,d} peuvent s'écrire, de façon unique, sous la forme (a,?,?,?) ou les 3 ? sont une permutation de {b,c,d}