Dénombrement

[marcopolo20]

Bonjour,

Voici mon problème :

On veut distribuer 7 prospectus dans 10 boites aux lettres nominative. De combien de façons peut-on le faire si :

On met un nombre quelconque de prospectus dans chaque boite et les prospectus sont identiques ?

D'après moi, l'ordre ne compte pas et répétition possible mais du coup, je ne vois pas comment faire.

Merci de votre aide

[chan79]

Salut
Etudie d'abord les façons d'obtenir 7 en ajoutant des entiers strictement positifs et inférieurs ou égaux à 7.
Si, par exemple, on met les prospectus dans deux boîtes, il y a les 3 répartitions:
6 et 1
5 et 2
4 et 3
Pour chacun de ces trois cas 10*9=90 possibilités

[marcopolo20]

Merci, il faut faire cela pour toutes les répartitions possibles je suppose.
Mais je ne suis pas sur du fait que la répétition soit possible, j'ai mis que c'était à cause du nombre quelconque de prospectus ; mais je ne comprend pas vraiment pourquoi.

Merci de votre aide.

[chan79]

Il faut étudier tous les cas
7 : 10 façons
6+1 : 90 façons
5+2 : 90 façons
4+3 : 90 façons
5+1+1 : 10*36=360 façons
etc

total 11440

avec n boîtes et p prospectus

[marcopolo20]

Ah oui merci , j'ai compris. Mais je me rend compte que le précédent est plus compliqué car il y a plus de possibilités, c'est : on met un nombre quelconque de prospectus dans chaque boîte et les prospectus sont tous différents.
Je sais qu'il faut faire la même chose, mais il faut en plus prendre en compte le fait que les prospectus soient tous différents et je ne vois pas comment.

Merci de votre aide

[chan79]

Ah oui merci , j'ai compris. Mais je me rend compte que le précédent est plus compliqué car il y a plus de possibilités, c'est : on met un nombre quelconque de prospectus dans chaque boîte et les prospectus sont tous différents.
Je sais qu'il faut faire la même chose, mais il faut en plus prendre en compte le fait que les prospectus soient tous différents et je ne vois pas comment.

Merci de votre aide

Si les prospectus sont différents, c'est le nombre d'applications de {1,2, 3 ...,p} dans {1,2,3,...,n}

[marcopolo20]

Bonjour,

en faisant comme vous je trouve 8500, mais j'ai une autre question si je prend l'exemple 6+1, on peut changer l'ordre des boîtes et changer les prospectus de boîte ce qui ferait 4 possibilités au lieu de 2 non ?

[chan79]

Bonjour,

en faisant comme vous je trouve 8500, mais j'ai une autre question si je prend l'exemple 6+1, on peut changer l'ordre des boîtes et changer les prospectus de boîte ce qui ferait 4 possibilités au lieu de 2 non ?

Salut
Dans le cas où les prospectus sont identiques:
si on les répartit dans deux boîtes exactement:
soit on en met 6 dans une boîte et 1 dans une autre
soit on en met 5 dans une boîte et 2 dans une autre
soit on en met 4 dans une boîte et 3 dans une autre

Pour 6 et 1:
10 façons de choisir la boîte où on en met 6, et pour chaque cas, 9 façons de choisir celle où on en met un donc 10*9=90
Autre façon:
façons de choisr les deux boîtes et on multiplie par 2 donc 45*2=90

[marcopolo20]

mais alors pour 2+2+2+1 c'est 10*9combinaison3 ou 10combinaison3*9

[chan79]

mais alors pour 2+2+2+1 c'est 10*9combinaison3 ou 10combinaison3*9

Première façon: on choisit 3 boîtes pour les 2 puis 1 parmi 7 pour le 1: 7=840

Seconde façon: 1 boîte pour 1 puis 3 parmi 9: =840

[chan79]

Je vais tenter une autre explication.
On a n boîtes et p prospectus avec p<n comme dans ton énoncé

Soit i le nombre de boîtes où il y aura des prospectus (i varie de 1 à p).
Le nombre de façons pour répartir les p prospectus dans ces i boîtes est:
On peut illustrer par le dessin suivant pour p=7 et i=3

En bleu les p prospectus et en rouge les endroits où on peut placer i-1 soit 2 signes +

On doit choisir i-1 emplacements parmi p-1 pour les signes plus. Ce qui fait
Le nombre de façons de choisir i boîtes est

donc le résultat est

[marcopolo20]

Première façon: on choisit 3 boîtes pour les 2 puis 1 parmi 7 pour le 1: 7=840

Seconde façon: 1 boîte pour 1 puis 3 parmi 9: =840

D'accord merci