Dénombrement et probabilité d'un carré d'as au poker

[agrume de feu]

Bonjour !

Pour m'entraîner au dénombrement (avec C de k parmi n) appliqué aux proba, j'ai tenté de trouver la probabilité d'obtenir un carré d'as au poker variante texas hold em
J'ai procédé ainsi :
1) calcul de la probabilité qu'il y ait 2 as dans les 5 cartes qui sortent sur le tapis :
C de 2 parmi 4 x C de 3 parmi 48 (puisque je veux exactement 2 as) = 103776
donc P1 = 1/103776

2) calcul de la probabilité d'obtenir 2 as dans ma main :
C de 2 parmi 47 = 1081
donc P2 = 1/1081

3) calcul d'obtenir un carré d'as : 1/1081 x 1/103776 = 112181856
donc P3 = 1/112181856 soit à peu près 8,9x10^(-9)

Cela vous semble t-il cohérent ou fais-je totalement fausse route dans mes calculs ? :id:
Si quelqu'un peut m'aider dans cette démarche qu'il soit le bienvenu dans cette discussion, merci !

[Ben314]

C'est plutôt "fausse route"' (si ta proba était exacte, un type qui joue 24h/24 à raison d'une partie par minute devrait attendre en moyenne 17 168 années avant d'avoir un carré d'As...)

Donc un petit rappel du lien entre dénombrement et probabilités : lorsqu'on a affaire à un certain nombre de cas équiprobable, la proba qu'un truc dit "favorable" arrive, c'est :
(Nombre de cas favorable)/(Nombre de cas total).

Par exemple, si tu tire une carte au pif dans un jeu de 52, il y a 26 cas où c'est une une rouge (cœur ou carreau), donc tu as 26/52=1/2 chance de tirer une rouge (et pas 1/26 !!!)

[agrume de feu]

C'est plutôt "fausse route"' (si ta proba était exacte, un type qui joue 24h/24 à raison d'une partie par minute devrait attendre en moyenne 17 168 années avant d'avoir un carré d'As...)

Donc un petit rappel du lien entre dénombrement et probabilités : lorsqu'on a affaire à un certain nombre de cas équiprobable, la proba qu'un truc dit "favorable" arrive, c'est :
(Nombre de cas favorable)/(Nombre de cas total).

Par exemple, si tu tire une carte au pif dans un jeu de 52, il y a 26 cas où c'est une une rouge (cœur ou carreau), donc tu as 26/52=1/2 chance de tirer une rouge (et pas 1/26 !!!)

Ha mince !!
Il ne faut donc pas du tout procéder avec le dénombrement ?
Je vais tenter autre chose dans ce cas, parce 17 168 années avant d'avoir un carré d'as ^^ ...
Je vais me baser sur ce que tu as dit : cas favorable/cas possible avec donc "avoir un carré d'as"/"avoir n'importe quelle autre main"

[Ben314]

Sauf erreur, les deux nombres que tu as calculé sont juste, mais pour obtenir une proba, il faut diviser le premier par "5 parmi 52".
Le deuxième calcul est correct : tu as bien divisé le nombre de cas favorable (c'est à dire 1) par le nombre de cas total (c'est à dire "2 parmi 47")

[agrume de feu]

Ha mince !!
Il ne faut donc pas du tout procéder avec le dénombrement ?
Je vais tenter autre chose dans ce cas, parce 17 168 années avant d'avoir un carré d'as ^^ ...
Je vais me baser sur ce que tu as dit : cas favorable/cas possible avec donc "avoir un carré d'as"/"avoir n'importe quelle autre main"

Voici ma nouvelle approche pour trouver : avoir un carré d'as/avoir une autre main

Je schématise la situation comme ceci :

A A A A A' A' A' puisque finalement le tirage peut être considéré comme simultané.
donc on 1 seule possibilité d'avoir 1 carré d'as et C de 3 parmi 48 d'avoir 3 autres cartes
ce qui fait 1 x C k=3 n=48 = 17296
On a donc 17296 possibilités d'avoir 1 carré d'as.

Maintenant je cherche la proba d'avoir une autre main qu'un carré, soit C de 7 parmi 52
ce qui fait C k=7 n=52 = 65352560

Opération finale : 17296/65352560 = 0.000265 (à peu près)

Soit 0.0265 % d'avoir un carré

[Tiruxa]

Bonjour,

Il y a une erreur de calcul, en effet 7 parmi 52 est égal à 133784560 non pas 65352560.

Mais plus embêtant le schéma utilisé ne me semble pas correspondre à la situation réelle.

Il n' y a pas qu'une seule possibilité de distribuer les 4 as comme le 4 parmi 4 l'affirme (en effet il peut y avoir, par ex, les as noirs sur la table et les rouges dans la main, ou l'inverse, ou bien d'autres possibilités)

J'appellerai A = "les cartes retournées comprennent 2 as exactement"
B= "le joueur a deux as en main"
On cherche p(A et B)

Or p(A et B)= p(A) * p(B sachant A)

On a p(A)= (2 parmi 4)*(3 parmi 48)/(5 parmi 52)

On sait que A est réalisé, pour calculer la 2ème proba on tire deux cartes d'un tas de 47 cartes avec 2 as dedans.

p(B sachant A)=(2 parmi 2)/(2 parmi 47)=1/(2 parmi 47)
Donc
p(A et B)=[(2 parmi 4)*(3 parmi 48)]/[(5 parmi 52)(2 parmi 47)] soit 0,0000369

[Tiruxa]

Maintenant c'est peut être juste p(B sachant A) qui t'intéresse, c'est à dire lorsque je vois les 2 as sur la table qu'elle est la proba que j'ai les 2 autres.

C'est donc 1/(2 parmi 47) = 0,000925

[agrume de feu]

Merci pour toutes vos explications !
En effet sur P(A) j'vais totalement omis le fait de diviser par C de 5 parmi 52, ce qui est assez logique pourtant.

Problème résolu !

[agrume de feu]

Et petite curiosité, comment as tu fait Ben314 pour convertir une proba en durée ? Combien de temps mettrait on pour obtenir un carré en jouant toutes les minutes H24 ?

[Black Jack]

Et petite curiosité, comment as tu fait Ben314 pour convertir une proba en durée ? Combien de temps mettrait on pour obtenir un carré en jouant toutes les minutes H24 ?

Proba d'un carré d'as :

4/52 * 3/51 * 2/50 * 1/49 * 5 = 120/6497400 = 1/54145


:zen:

[Ben314]

Et petite curiosité, comment as tu fait Ben314 pour convertir une proba en durée ? Combien de temps mettrait on pour obtenir un carré en jouant toutes les minutes H24 ?

Lorsque tu as un événement qui a une proba. 1/N de se produire à chaque essai que tu fait alors, en moyenne, il faut attendre N essais avant qu'il ne se produise : c'est à la fois la vision "naïve" de ce que représente une probabilité et le résultat d'un calcul.
donc ton le 8,9x10^(-9) = 1 / 112 359 550 que tu annonçait au départ, ça aurait voulu dire qu'il faut en moyenne 112 359 550 donnes avant d'avoir le carré d'as.
Si on fait une donne par minute, ça fait donc 112 359 550 minutes...

[Ben314]

Proba d'un carré d'as :
4/52 * 3/51 * 2/50 * 1/49 * 5 = 120/6497400 = 1/54145

Vu la règle du "poker variante texas hold em" (expliquée dans le 1er post, la proba c'est pas ça.

[agrume de feu]

D'accord ! Donc ça ferait 1/0.0000369 = 27 100.3 (arrondi au dixième), soit si on a une main par minute, 451h, donc 18 jours grosso modo.

[Ben314]

ça semble déjà plus plausible...

[Black Jack]

ça semble déjà plus plausible...

Je ne connaissais pas les règles de ce Poker ...

Après lecture sur le net, celles évoquées dans le message initial ne me semblent pas être correctes.

Il me semble qu'on commence par donner 2 cartes à chaque joueur.

Et qu'ensuite (en plusieurs fois) on retourne 5 cartes visibles par tous.

Les mains à prendre en considération pour un joueur comprennent obligatoirement les 2 cartes qu'il a reçues au début et 3 cartes quelconques des 5 visibles par tous.
*****

Si c'est bien cela, alors un carré d'as ne peut être obtenu que de 2 manières :

a) Avoir 2 as dans les 2 premières cartes distribuées.
et que les 2 as restants se retrouvent dans les 5 cartes qui seront visibles.

b) Avoir 1 as dans les 2 premières cartes distribuées.
et que les 3 as restant se retrouvent dans les 5 cartes qui seront visibles.
*****

Mais il est bien possible que ce ne soit pas vraiment les règles du jeu ???

Je ne pratique personnellement que la belote et le whist.

:zen:

[Tiruxa]

Si c'est bien cela, alors un carré d'as ne peut être obtenu que de 2 manières :

a) Avoir 2 as dans les 2 premières cartes distribuées.
et que les 2 as restants se retrouvent dans les 5 cartes qui seront visibles.

b) Avoir 1 as dans les 2 premières cartes distribuées.
et que les 3 as restant se retrouvent dans les 5 cartes qui seront visibles.

En effet mais le premier intervenant voulait la probabilité du cas a) c'est pour cela que j'ai proposé ce calcul

D'autre part le fait que l'on serve le joueur avant d'étaler les 5 cartes ou bien l'inverse ne modifie pas la proba.

On peut calculer en commençant par les deux as de la main

On obtient (2 parmi 4)/(2 parmi 50) * (2 parmi 2)*(3 parmi 48)/(5 parmi 50)
ce qui redonne 0,0000369

[Black Jack]

:zen:

" j'ai tenté de trouver la probabilité d'obtenir un carré d'as au poker variante texas hold em"

ne me semble pas limité au cas "a".

:zen:

[Black Jack]

" j'ai tenté de trouver la probabilité d'obtenir un carré d'as au poker variante texas hold em"

ne me semble pas limité au cas "a".

:zen:

[agrume de feu]

ne me semble pas limité au cas "a".

:zen:

Très juste Black Jack, j'ai totalement zappé la solution B) !